九年级下册数学第27章证明2【荐】.pdfVIP

§ 27 .3 用推理方法研究四边形 1. 平行四边形 在第 12 章中，我们已学过平行四边形的判定方法，我们也可以用逻辑推理 的方法来证明这些判定方法． 平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD，AB ＝CD． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 分析 要证明四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因 此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等． 证明 如图27.3.1 ，连结AC ．因为 AB ∥CD， 所以 ∠BAC ＝∠DCA （两直线平行，内错角相等）． 在△ABC 和△CDA 中，因为 AB ＝CD， ∠BAC ＝∠DCA ， AC ＝CA， 所以 △ABC ≌△CDA （S.A.S.）． 因此 ∠BCA ＝∠DAC （全等三角形的对应角相等）， BC ∥DA （内错角相等，两直线平行）． 所以四边形ABCD 是平行四边形． 利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理． 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质． 平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等． 已知： 如图 27.3.2 ，四边形ABCD 是平 行四边形． 求证： AB ＝CD， BC ＝DA ． 分析 要证明平行四边形的对边相等，可 以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两 个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论． 证明 连结AC ．因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以 AB ∥CD， 因此 ∠BAC ＝∠DCA （两直线平行，内错角相等）． 同理 ∠BCA ＝∠DAC ． 在△ABC 和△CDA 中，因为 ∠BAC ＝∠DCA ， AC ＝CA， ∠BCA ＝∠DAC ， 所以 △ABC ≌△CDA （A.S.A. ）， 因此 AB ＝CD， BC ＝DA （全等三角形的对应边相等）． 由△ABC ≌△CDA，我们还可以得出∠B ＝∠D ，同样也可得出∠BAD ＝∠ DCB ，于是可得： 平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等． 同样，我们也可证明： 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 例 1 如图27.3.3 ，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的 点，且AE ＝CF． 求证： BF ∥DE ． 证明 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以