从数学变式的角度去分析一道巴尔干数学竞赛题【荐】.pdfVIP

2014年第12期 数学教学 12-33 从数学变式的角度去分析一道巴尔干数学竞赛题 844500 新疆喀什地区英吉沙县实验 中学 阿里木江 艾·则孜 本文要讨论的是 1989年第六届巴尔干数 学竞赛中的一道几何证明题，笔者认为这道题 目是值得一做的好题，波利亚在其著作 “怎样 解题”中说到好题 目和坏题 目，好题 目是能够 让做题 目的人对之感兴趣并愿意花时间去做 的，体现重要数学思想方法的，可以从中获得 图2 成功喜悦的题 目．笔者的 目的是围绕这道题来 设计一堂以变式教学为视角的探究型课． 图l是满足题 目条件的，而 图2是不满足 1．题 目 的，图1中直线2与线段AG不相交，线段B】 夹在点G与边B 之间，并且当直线2向上平移 题 目 直线f分别交△ BC的边 B、 C 的过程 中线段B1 的长度会逐渐减小，这就 于点B】、 ，并且△ABC的重心G与点A在2 是题 目条件想告诉我们的，接下来让学生在 的同侧．证明： 图l的基础上把题 目所涉及的两个四边形画出 SBB1GC1+Scc1GBl≥云△AB． 来 (如图3)． 当学生刚看到这道题 的时候可能感到比 较奇怪，一道几何证 明题却连图都没有，因此 学生首先要越过的第一个障碍就是根据题意准 确画出图．不少基础较差的学生由于不理解题 目条件而把图画错，笔者认为，教师应该引导 学生仔细审题然后再画图，而不是看到题 目就 图3 开始做起来． 如果直接去分析四边形BB】GC】和 四边 解题的第一步要认真审题，这也是波利亚 形CC1GB1的面积之和 与△AB 的面积之间 解题表中的第一步，关键是怎么理解 △“AB 的关系显然是比较困难的，大多数学生都会觉 的重心G与点 在2的同侧”这个条件，并用数 得这道题 目的条件太少 了．波利亚在 “怎样解 学语言准确地描述该条件，我们不妨引导学生 题”中提到，当直接去解决原问题比较 困难时， 画出下面两个图． 我们可以去解比原问题稍微容易的问题．这个 所谓稍微容易的题 目从何而来呢?对于本文所 讨论的问题，比较合理的方法就是将原问题特 殊化，适当地添加一些条件让问题变得容易下 手，而这道题 目又是一道几何题，我们容易想 到的方法就是进行图形变式．注意到B】 是 我们要讨论的两个四边形的公共对角线，而且 图1 可 以让直线f运动，从而改变这两个 四边形的 1