分形课件09【荐】.pdf

第第 讲讲 混沌与分形 （Ⅲ） 混沌和分数维的发现，使我们能从一个 似乎是杂乱无章的时间序列中计算出它的分 数维，表征其结构。同时，我们还可以从一 个时间序列中得到有关可预测值的信息。 — 《分形和分维理论》 刘式达，刘式适 第第 讲讲 一.再从Cantor集合谈起 大家知道，一个典型的例子往往包含着丰 富的内涵，使人们百谈不厌。Cantor集合就是 这样一个例子。 Cantor集合的重要背景是海岸线的测量。 作为最简单的例子，如果海岸线如图8-1为L 1 的一条直线。那么我们用r尺寸去量它，所得 长度总为1。 第第 讲讲 L 1 Fig8.1 海岸线为L 1的直线段 第第 讲讲 可以得到 0 L r （8-1 ） 已经知道，线段的维数D 1，即1维情况。我 们大胆猜测 L r1−D （8-2 ） 即D 1 （注记：猜测还有一个方案是rD −1 ， 但后边实际情况要求D≥0 ，即可排除）。 现在再画出Koch曲线如图8-2所示 第第 讲讲 (a) r 1 b r 1 2 1 3 ( ) (3) 9 Fig8-2 Koch海岸线 DDD ≥≥≥000 第第 讲讲 对于这种海岸线，若尺寸r=1/3，那么量 1 2 1 出来的长度为L=4/3。若r ( ) ，则 4 2 16 3 9 L ( ) ，…… 3 9 我们可以理解为图形本身是无限复杂的， 而用粗糙尺子去丈量，对小的细节量不 出来。 1 一般地，若尺寸r ( ) n，则对应长度 4 3 L ( ) n 。 3 第第 讲讲 换句话说，尺寸r越小，对应的海岸线长度L 就越长。我们假设L和r的一般关系与（8-2 ） 相同 L r 1−D N