利用判别式巧解竞赛题【荐】.pdfVIP

维普资讯 中学数学研究 2005年第7期 ． ·． 原不等式成立． 1，求证： 评注：本题的最大困难在于如何使用条件 ／ ， ’ ’ ， ／ ， ， ， ， 、／P r +q +V q r +P ≥ P +q· 士l+ +÷l十Y+l十L0：l，上述证法通过换元 分析：由于不等式的左边结构和向量的模 比较接近，因此可以考虑构造平面向量证明 和构造，使问题化归为证明不等式 (a + 之． b)(b+c)(c+a)≥8abc，其关键是由条 证明：设向 ：(pr，qs) ：(9r，)，则 件COS口+COS21~+COS。y：l联想到构造一个 长方体，使条件隐含在长方体之中． 1O．构造平面向量 上面介绍的多种构造途径总的来说离不 ≥Ia+bf= 开两个方向，即一个方向为 “数”，另一个方向 即 √Pr+q2s+√qr+ps 为“形”；而平面向量具有数和形的双重性，因 ≥~／(r+S2)(p+q)． 此用构造平面向量的方法证明不等式有时能 · ． P‘，q∈R ，且 r+5=l， 给你一个意想不到的“惊喜”． 厂— — ———— 厂丁 —一 —— ‘ 例ll 已知P，q∈R ，5，r满足r+5： ． ． 、／P r +qs +、／qr +P s ≥ P+ q· ＼ = 利用判别式巧解竞赛题 一7+一6 ． + 四川绵阳东辰国际学校 (621000) 姚先伟 判别式法是中学数学中常见的解题方法， 解：当m：0时，方程7／1X—2(m+2)+ + 它源于实系数一元二次方程是否有实根的判 m+5=0有实根，不合题意，故m≠0， 定，因而凡与一元二次方程有关联的二次三项 △1=4(m+2)一4m(m+5)0， ’ 式、二次函数、二次不等式等，判别式均有用武 ． ． rn 4． 之地．并且对于方程aN+ +c：0(a≠0)， 当m=5时，方程(m一5) 一2(m+2) 有4a +4ab+4r上c=0，且口(2r上