利用数论知识解数学竞赛题【荐】.pdfVIP

2015年第2期 7 利 用 数 论 知 识 解 数 学 竞 赛 题 邹 明 法 少 鹏 (山东省青岛市第二中学，266061) 中图分类号：0156．1 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2015)02—0007—06 (本讲适合高中) = {qm+rIg∈Z}(0≤r≤，n一1) 称为模m的剩余类． 1 知识介绍 在模 m的每一个剩余类 里，任取一个 1．1 函数 厂()=r]的概念与性质 a，得 m个数 a。，a。，…，a一组成 的数组 ， ． 设 、Y∈R．记．厂()=Ix]表示不小于 称为模m的一个完全剩余系，简称完系．称 实数 的最小整数，L_J表示不超过实数 的 0，1，…，m一1为模 m的最小非负完系． 最大整数． 1．4 阶(指数)与原根 (1)『]一1 ≤r] +1． 设(a，m)=1，d0为使 a兰1(roodm)的 (2)若 ≤y，则 ) )，)，即r]≤Vy]， 最小正整数．则 称为 a对于模 m的阶．记 就是函数．厂()不减． 为6 (a)=d。． (3)r +y]≤r]+fy]． 显然 ， (a)≤ (m)． (4)对于整数m，有rm+ ]=m+r戈]． 若 (0)= (m)，则a称为模m的原根． (5)若 不为整数，则r]=L_J+1． 2 应用举例 (6)LxJ—LyJ≤r 一y]． 1．2 重要定理 例 1 设 、 (1 卢)为实数．求具 裴蜀定理 设 a、b是不全为0的整数． 有下述性质的最大正整数 r：将每个正整数 则存在整数 、y，使得 ax+by：(a，b)． 任意染上r种颜色之一，则总存在两个同色 费马小定理 设P为素数．则对任意正 的正整数 、Y，满足 O／~43． 整数 a有 a三a(modP)． ) 特别地 ，当(p，a)=l时， E1(modJp)． 【分析】假设存在满足题设的正整数 r． 威尔逊定理 设P为大于 1的整数．则 若存在正整数 Ⅳ0，使得对所有 No的 正整数 n，均为 同一种颜色 ，则结论显然成 P为素数 § (P一1)!三一1(modP)． 欧拉定理 设正整数 a、m满足 m1， 立．否则，存在正整数tNo，使得t和t+l不 且 (a，m)=1．则 a纵 三1(modm)． 同色． 1．3 剩余类与剩余系 考虑 r+1个正整数 a0：t，al=t+1， 设m(m1)为正整数 ，将 Z按模 m的 余数分成m类，相应m个集合记为： ， ， a… =r0]( 1，2，…，卜1)．