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南京大学数学课件n3_2_2【荐】.pdf
第三章
3.2.2 牛顿– 莱布尼兹公式
f( x) C[若a, b], 对任一点 x (a ,b ), f (x ) 在区间
[a ,b] 上可积，上限为 x 的定积分
x
a f (t) dt
称作函数 y f (x ) 的变上限积分。
一、积分中值定理
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
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一、 积分中值定理
定理1 [ , a],b 使
f( x) C[若a, b], 则至少存在一点
b
f (x ) dx f ( )(ba a )
证:
设f (x ) 在[a ,b ] 上的最小值与最大值分别为m, M,
则由性质7 可得
1 b
m f x x ( M) d
b a a
[ 在,a ]b 上至少存在一
根据闭区间上连续函数介值定理,
点[ , a],b 使
1 b
(f ) f x ( x) d
b a a
因此定理成立.
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说明:
• 积分中值定理对
a b a b 或 都成立.
y (f )x
b
f x ( x) d y
a
• 可把 (f )
b a
f (x理解为) [a ,b ] 在 上的平均值. 因
o a b x
b
a f (x) dx 1 n b a 1 n
lim f ( ) lim f ( )
i i
b a b a ni 1 n nn i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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