大学文科数学-课件2【荐】.pdf

2 微积分的直接基础——极限 2.1 数列极限 芝诺悖论 Aristotle, Physics. 亚里士多德对无穷, 不可分, 连续和不连续概念的大 量讨论的一个原因是他想反驳芝诺 (Zeno) 的悖论, 芝诺提出这些悖论可能是想要说明当时运动的概念 不是十分清晰, 同时也是为了说明任何对空间和时间 的分割方法都会导致问题. 芝诺的第一个悖论, 二分法, “断言运动不存在, 因为 运动着的物体要达到终点, 首先必须经过路途的一半” (当然它必须先走完这一半的一半, 依此类推), 这里 最基本的争论是物体不可能在无限多个时间段内走 完有限的路途; 第二个悖论是阿基里斯, 它断言: “比 赛中, 跑得最快的阿基里斯永远赶不上慢慢爬行的乌 龟, 因为要追上龟, 他必须先到达乌龟的出发点, 因 此乌龟总是在阿基里斯的前面”. 亚里士多德在驳斥 这些悖论时承认, 时间就像距离一样, 是无限可分的, 但他并不被物体可以在有限的时间内走过无限多段 距离所困扰, 因为 “如果在有限的时间内一个事物不 能与数量上无限的事物相联系, 那么它总可与无限可 分的事物相联系, 在这种意义上, 时间本身也是无限 的”. 事实上, 在这两个悖论中一旦给定了运动, 我们 就可以计算出运动的物体何时到达终点, 阿基里斯何 时超过乌龟. 芝诺的第三和第四个悖论是要说明, 当我们说由不可 分的元素构成一个连续的量时, 将有什么情况发生. 飞箭不动悖论说明了 “如果处于一定空间的任一物 体是静止的, 那么运动着的物体在任意时刻总是处于 一定的空间, 因此飞箭是静止的.” 也就是说, 如果有 不可分的时刻, 飞箭在这些时刻静止不动. 另外, 既 然时间只是由时刻组成, 那么飞箭就将总是处在静止 状态. 亚里士多德对这一悖论的反驳是, 不仅不存在 不可分的时刻, 而且运动本身也只能在一个时间段内 被定义. 而现代对这一悖论是这样反驳的, 因为运动 是通过极限的观点来定义的, 所以可以否定第一个前 提. 运动场悖论是说, 假设有三个同样物体的集合, A 静 止不动, B 经过A 向右移动, C 以同样的速度向左移动, 假设B 移动到了A 右面的某个位置, C 移动到了A 左 A B A 面的某个位置, 且最初在 下方的 移到了 下方, 4 1 5 A C A 而最初在 下方的 移到了 的下方 (图2.13). 芝 5 1 4 诺假设物体是空间不可分的单元, 它们在不可分的时 间单元内移动到了其新位置, 但是, 既然在某一时刻 B C 一定在 的正上方, 那么有两种可能出现, 要么两 1 1 个物体没相遇, 则物体根本没有运动, 要么在不可分 的时刻, 每个物体各处于两个不同的位置, 因此时刻 事实上是可分的. 亚里士多德相信, 他已经驳倒了这 个悖论, 因为他已经否定了最初的假定, 即时间是由 不可分的时刻组成. A A A A A A 1 2 3 4 5 6 B B B B B B 6 5 4 3 2 1 C C C C C 1 2 3 4 5 图2.13 芝诺运动场悖论 这些悖论的论战贯穿了整个历史, 而芝诺悖论的思想 及亚里士