大学文科数学-课件6【荐】.pdf

6 定积分 6.1 定积分的概念 6.1.1 抽象定积分概念的两个现实原型 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 古希 腊的德漠克利特 (Democritus, 公元前460 – 前370) 用 “原子论”, 阿基米德 (Archimedes, 公元前287 – 前212) 用 “穷竭法”. 我国的刘徽用 “割圆术”, 都曾 计算过一些几何体的面积和体积, 这些均为定积分的 雏形. 直到17世纪中叶, 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727) 和莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716) 先后 提出了定积分概念, 并发现了积分与微分之间的内在 联系, 提供了计算定积分的一般方法, 从而使定积分 成为解决有关实际问题的有力工具, 并使各自独立的 微分学与积分学联系在一起, 构成理论体系完整的微 积分学. 阿基米得研究了曲线图形求积的问题, 并用穷竭法建 立了这样的结果: “任何由直线和直角圆锥体的截面 所包围的弓形 (即抛物线), 其面积都是与其同底同 高的三角形面积的三分之四.” P B M A X D N Q APQ 是一抛物线弓形, 抛物线的顶点为A (图). PQ 交 抛物线的轴于X 点. PX 和QX 各在M 和N 处平分. 1 BAP PA (1)  =  X 4 1 A Q  D = AXQ 4 用同样的方法重复把PM, MX 平分就可以证明 (1) 式 1 的右方加上了一些三角形, 其面积等于BPA的 , 亦 4 1 即PAX 的 , 等等. 在这些线上不断这样作下去, 就 16 可以证明抛物线弓形的面积是    + + + + 4 16 64 这里 是指APQ的面积.  如果这个级数延至无限, 则不难证明其和是 , 或 1 1 - 4 4 . 3 刘徽的割圆术 虞言林, 虞琪. 祖冲之算π之谜. 北京: 科学出版社, 2002. 原型I 求曲边梯形的面积 y