1992年全国高中数学联赛试卷【荐】.docVIP

1992年全国高中数学联赛试卷 第一试 一．选择题(每小题5分，共30分) 对于每个自然数n，抛物线y(n2＋n)x2((2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋(＋|A1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D) 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )(A)(x＋)(y＋)=0 (B)(x()(y()=0(C)(x＋)(y()=0 (D)(x()(y＋)=0 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=/S，则一定满足( )(A)2≤4 (B)34 (C)2.5≤4.5 (D)3.55.5 在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b(1)，且都是方程=logb(4x(4)的根，则△ABC( )(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12(2z1z2＋z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )(A)8 (B)4 (C)6 (D)12 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)f(10(x)， f(20(x)(f(20＋x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 二．填空题(每小题5分共30分) 设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且成等差数列，则的值是______． 在区间[0，(]中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是______． 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____． 设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1＋z2|=7，则arg()3的值是______． 设数列a1，a2，(，an，(满足a1a21，a32，且对任何自然数n， 都有anan＋1an＋2(1，又anan＋1an＋2an＋3an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋(＋a100的值是__ __． 函数f(x)=(的最大值是_____． 三、(20分)求证：． 四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离． 五、(20分)设n是自然数，fn(x)(x(0，1)，令y=x＋. 1.求证:fn＋1(x)=yfn(x)(fn－1(x)，(n1) 2.用数学归纳法证明： fn(x)= 第 二 试 一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的垂心，求证：H1，H2，H3，H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置． 二、(35分)设集合Sn＝{1，2，(，n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集． 1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等． 2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和． 三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi (xi，yi)(i1，2，3，4，5，6)满足 (1) | xi |≤2，| yi |≤2，(i1，2，3，4，5，6)，(2) 任何三点不在同一条直线上． 试证：在以Pi (i1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2．