2014年中考数学分类汇编——运动变化类的压轴题【荐】.doc

2014年中考数学分类汇编——运动变化类的压轴题 2014年运动变化类的压轴题，题目展示涉及：单一（双）动点在三角形、四边形上运动；在直线、抛物线上运动；几何图形整体运动问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质；特殊四边形形的判定和性质；圆的相关性质；解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想. 解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者. 一、单动点问题 【题1】(2014年江苏徐州第28题)如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG． （1）试说明四边形EFCG是矩形； （2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中， ①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； ②求点G移动路线的长． 【考点】： 圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】： 压轴题；运动变化型． 【分析】： （1）只要证到三个内角等于90°即可． （2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可． 【解答】： 解：（1）证明：如图1， ∵CE为⊙O的直径， ∴∠CFE=∠CGE=90°． ∵EG⊥EF， ∴∠FEG=90°． ∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°． ∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在． 连接OD，如图2①， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°． ∵点O是CE的中点， ∴OD=OC． ∴点D在⊙O上． ∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°， ∴△CFE∽△DAB． ∴=（）2． ∵AD=4，AB=3， ∴BD=5， S△CFE=（）2?S△DAB =××3×4 =． ∴S矩形ABCD=2S△CFE =． ∵四边形EFCG是矩形， ∴FC∥EG． ∴∠FCE=∠CEG． ∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE， ∴∠GDC=∠FDE． ∵∠FDE+∠CDB=90°， ∴∠GDC+∠CDB=90°． ∴∠GDB=90° Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示． 此时，CF=CB=4． Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD， 如图2②所示， 此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3． Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′， 如图2③所示． S△BCD=BC?CD=BD?CF″′． ∴4×3=5×CF″′． ∴CF″′=． ∴≤CF≤4． ∵S矩形ABCD=， ∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42． ∴≤S矩形ABCD≤12． ∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″， ∴点G的移动路线是线段DG″． ∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°， ∴△DCG″∽△DAB． ∴=． ∴=． ∴DG″=． ∴点G移动路线的长为． 【点评】： 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键． 　【题2】（2014?湖州第24题）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF； （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b； （3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明， （2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，