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第 3O卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．30。№ ．1 2014年 2月 COLLEGE MATHEMATICS Feb．2014 从射影观点看焦点 周建伟 (苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州 215006) [摘 要]用射影几何知识讨论欧氏平面上二次曲线焦点与准线的性质． [关键词]二次曲线；焦点；准线 [中图分类号]O123．1 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2014)01—0045—04 本文用射影几何观点讨论二次 曲线焦点与准线的性质 ，有关极点，极线 ，共轭等概念可参阅射影 几何教材[1]，[2]．熟悉欧氏几何的读者可 以尝试用平面几何的方法证明这些结论，作进一步的研究． 平面上二次 曲线可以是椭圆，双曲线或抛物线，把圆看成特殊的椭圆．本文有些材料取 自[2]，例 如定理 1，3，为了完整写出了它们的证明．下面是焦点与准线的射影几何定义． 定义 如果过欧氏平面上点F的任意一对关于二次曲线共轭的直线都垂直，那么F叫做二次曲线 的焦点 ，F的极线是准线． 可以证明这样定义的焦点与通常的定义一样 ，且焦点总在对称轴上．下面利用这一射影几何定义 讨论二次曲线有关焦点的性质． 定理 1 设 F是二次曲线的一个焦点，了、是曲线上弦PQ端点处切线的交点，PQ交F对应的准线 于 R ，则 TF与RF分别是 PFQ 的内外角平分线． 证 如图 1， 是F对应的准线．易知R的极线是 TF ，因此直线 FR与 TF共轭．由假设 F是焦 点 ，FR 与TF垂直．P，Q，S一 ×PQ，R是调和点列 ，FP，FQ，FS，FR是调和直线．再由FR与FS 垂直，可知 TF与RF是 PFQ的内外角平分线． 如图2，如果定理 1中二次 曲线是双 曲线 ，P，Q分别是双曲线两支上点．则 RF 是 ／PFQ的内 角平分线 ，而 丁F 是 ／PFQ的外角平分线． 考 ＼ 邛 一 ＼ 图 1 图2 利用定理 1容易得到 ： 设二次曲线的任意切线交两定切线于A，B，点F是二次 曲线的焦点，则 ／AFB是定角．如果两 定切线上切点与F共线，AFB一号． 下面的引理在讨论二次曲线焦点的性质时常有用，证明见[2]P．153例4． [收稿 日期]2012—04—05 46 大 学 数 学 第 3O卷 引理 2 设三角形ABC的三边分别与二次曲线切于D，E，F，设 P为直线 EF上任一点，则直线 BP与CP关于二次曲线共轭． 定理 3 如果三角形的三边都与抛物线相切 ，则三角形的三个顶点与焦点四点共圆． 芦 ／ I C D 一 ＼ ‘ ／／／ ．