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秦汉时期的数学 随着数学知识的不断积累以及对于零散的材料逐渐加以总结和系统化、理论化，于是陆续出现了数学方面的专书。《汉书·艺文志》记载有《许商算术》二十六卷，《杜忠算术》十六卷，这是最早见于著录的数学专著。这两部书都已失传了。秦汉时期传留至今的数学著作和涉及数学方法较多的著作，有著名的《九章算术》和《周髀算经》。此外，还有近年出土的简书《算数书》。这些书中包含了算术、代数和几何等丰富的数学内容，诸如复杂的整数和分数四则运算，比例问题，盈不足术，开平方和开立方术，方程术和正负术，面积和体积问题，勾股算术和勾股测量术，等等，其中有不少算法是具有世界意义的先进成就。这些成就表明，秦汉时期已经形成了独具特色的中国古典数学体系。 　　一、“九数” 　　根据《周礼·地官·大司徒》记载，周朝设有称为“保氏”的官员，专门负责向贵族子弟传授所谓“六艺”。数学是六艺中的一门课程，共包括九项内容，称为“九数”。但什么是“九数”，现已难于考证。东汉郑玄注释《周礼》引郑众说，“九数”：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，今有重差、夕桀、勾股①。郑众所称“九数”中的“均输”，实际上是西汉时的赋税制度，不可能是《周礼》九数的内容。但从二郑注释可以了解到，西汉数学大致包含方田、粟米等九个方面，而重差、夕桀、勾股则是数学上的新的发展。上述九项内容与《九章算术》的篇目基本相同。“旁要”和“夕桀”两项，今已不知所指。有人认为“旁要”指简单的勾股问题，“夕桀”二字系传抄有误，应为“互乘”，即解线性方程组的一种方法。东汉一些数学家整理数学著作，用“衰分”代替“差分”，用“勾股”代替“旁要”，于是编写成为著名的《九章算术》。正如刘徽所说，“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”②，九章的名称无疑是由《周礼》九数演变而来的。 　　① “赢不足”，《九章算术》作“盈不足”，后皆依此。又，亦有人将“今有重差”断开，作“旁要、今有、重差、夕桀、勾股”，把“今有”作为一种数学方法。 ② 刘徽《九章算术注》原序，钱宝琮校点本《算经十书》上册，中华书局1963 年版。 二、秦汉简牍和《算数书》 在居延、武威、临沂银雀山、云梦睡虎地及江陵凤凰山等地出土的大批秦汉简牍中，可以找到相当多的与社会生产和生活密切相关的数学计算问题，但就数学方法而言，仅有九九表，整数和分数的算术运算，面积、体积和容积的计算等。这些方法一般都很简单，尚不足以反映秦汉数学的全貌。1984 年1 月，在湖北江陵张家山出土了一批竹简，其中有数学著作《算数书》。据推断，《算数书》抄写于西汉初年（约公元前二世纪），成书时间应该更早。这是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有六十多个小标题，九十多个题目，包括整数和分数四则运算，各类比例问题，各类面积和体积问题等。其中有些内容（如“合分”、“少广”等）与《九章》相近，甚至文句都很相似，说明二书间可能有某些传承关系，有些内容（如“相乘”、“增减分”等）是《九章》所没有的。在张家山简书汉律中，还发现有关于“均输律”的简文。过去一般认为汉武帝太初元年（公元前104 年）郡国始置均输官，施行均输法，《九章算术》中的均输问题，应是在此之后写成的。现在看来，这一论断需要进行修改。这部比《九章算术》还早的竹简《算数书》的出土，是中国数学史上的一项重大发现，具有十分重要的意义。 　　三、《周髀算经》 《周髀算经》是著名的《算经十书》之一，主要是一部解释盖天说的天文学著作，大约成书于公元前一世纪，而其中很多内容可能要早得多。在数学方面，《周髀》记述了矩的用途，勾股定理及其在测量上的应用，其中包含了相似直角三角形对应边成比例的定理。《周髀》开篇就以商高回答周公问题的形式提出“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”，即勾3 股4 弦5，这是勾股定理的一个特例。接着，又在陈子回答荣方的问题中提出“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日（太阳到观测者的距离）”，即a2+b2=磾2，这是勾股定理的普遍形式。据研究，陈子可能是公元前七到六世纪的人。在西方，这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，把勾股定理的发现归功于公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。《周髀算经》中测量太阳高远的陈子测日法，是勾股测量术的发展，又是重差术的先驱，比起西方“测量之祖”泰勒斯测量金字塔的成就是毫不逊色的。《周髀》中还有开平方和等差级数等，以及相当复杂的分数运算，用以解决古“四分历”的计算问题。唐代国子监添设算学馆，主要学习十部算经，《周髀》即是其中之一。对于研究古代天文学史和数学史而言，《周髀》是传留至今的最早的宝贵文献。 　　四、《九章算术》 《九章算术》的成书 中国古代数学名著《九章算术》，是我国最早的传世数学专著。《九章算术》与《周髀算经》一样，不