2012届高考数学一轮复习.8.5.轨迹问题教案.docVIP

8.5 轨迹问题 ●知识梳理 本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法. ●点击双基 1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B 2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是 A.－=1 B.－=1 C.－y2=1 D.x2－=1 解析：设双曲线的方程为－=1. 由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2. 又∵|PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1. 故双曲线方程为－y2=1. 答案：C 3.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 A.y2－＝1（y≤－1） B.y2－＝1 C.y2－＝－1 D.x2－＝1 解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15， ｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜， ∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2. 故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48， 所以轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）. 答案：A 4.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________. 解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=F2B=2，∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4. 答案：x2+y2=4 5.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 △ABC的重心G的轨迹方程为________________. 解析：设A（x0，y0）， ∵tanB+tanC=3， ∴－=3，点A的轨迹方程为y0=－（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若 G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，∴x0=3x－6，且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）. 答案：y－1=－（x－3）2（x≠且x≠） ●典例剖析 【例1】 在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程. 剖析：如上图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为+=1.显然a2、b2是未知数，但a2、b2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件. 解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q， 令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m. ∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－m=m. 于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1. 因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=. |MP|===， |NP|===. 以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）.则2a=|MP|+|NP|=，2c=|MN|=， 故所求椭圆方程为+=1. 解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0， =， =2， y·c=1， 解之，得x=，y=，c=. 设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则 b2·（）2+a2（）2=a2b2， a2－b2=， 解之，得a2=，b2=3. （以下略） 评述：解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法. 深化拓展 若把△PMN的面积为1改为·