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第一讲 乘法原理 本讲的三个教学要点： ①使学生掌握乘法原理主要内容；掌握乘法原理运用的方法. ②引导学生排列组合入门. ③培养学生准确分解步骤的解题能力. 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯. Ⅰ、简单乘法原理应用 【例1】（★★★）在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B? 分析：（1）从A点到C点一共有3种走法，从D点到B点一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×3=9种走法. 【例2】（★★★）要从五年级六个班中评选出学习先进集体? 分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出没有评上卫生先进集体的一共有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法. [前铺] 从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？ 分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出卫生先进集体一共只剩有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法. 【例 3】（★）“学习改变命运”这六个字要用种不同颜色的笔，问共有多少种不同? 分析：第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五步写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，一共有720种方法. [拓展] 有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的的方法？ 分析：写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字不同就行了，都有5种选择， 所以，有6×5×5×5×5×5=18750种写法. Ⅱ、较复杂的乘法原理应用 【例4】（★★）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种） 分析：京沪线上连北京上海一共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，不同的起点站都可以配7种不同的终点站，所以一共要准备8×7=56种不同的车票. [拓展]北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？ 分析：京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4×11=44种不同的车票 【例5】（★★★）如图，张地图上有五个国家A，，E，现在要求用四种不同的颜色区分不种颜色不第一步，给A国上色，可以任选颜色， 第二步，给B国上色，国不能使用A国的颜第三步，给国上色，国与B，两国相邻，A，B国的颜色，只有两种选择；第四步，给D国上色，D国与B，两国相邻， 第五步，给E国上色，E国与C，D两国相邻， 共有4×3×2×2×2=96种着色方法．【例6】（★★）右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行? 分析：由于四个棋子要一个一个地放A，A可以放在16个方格中的任意一个16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已A的那一行和一列中的其他方格内也不能B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方，C有4种放法；最后一步放D，再去掉CD，D有1种放法．由乘法原理，共有16×9×4×1=576 【例8】（★★★★） 用0，1，2，3，4这5个数字，组成各位数字互不相同的四1023，2341等，求全体这样的四位数之和． 【例10】（★★★）从10名男生，10名女生中选派4名学生去参加数学竞赛，要求男女生各2名，那么一共有多少种选派方法： 分析：第一步：在男生中先选一名有10种方法. 第二步：在剩下的男生中再选一名有9种方法， 男生中选两人一共有10×9=90种方法，需要注意的是，每一种方法，例如，甲乙两人的组合，被统计了两次，一次是第一步选甲第二步选乙，另一次是第一步选乙，第二步选甲，所以实际的选取方法有90÷2!=45种，第三、四步：在女生中选取两人一共有10×9÷2!=45种. 所以一共有45×45=2025种选派方法. 【例11】（★★★）三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 分析：相当于在10个数字中选出3个不同的数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种 [前铺]9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？ 分析：相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种. 【例1