从一个直观疏忽到一个认识深化.pdf

中学数学杂志　 ２０１４年第 １期　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　 中国数学课程中的问题解决具有以下特征：一般 息，很少要求学生自己去挖掘除基本概念以外的隐含 没有实际背景；涉及连续的、环环相扣的数学推理；需 条件；一道题目一般只涉及单个知识点，较少要求学 要学生主动地挖掘隐含的信息；知识的综合程度高， 生去建立不同概念之间的联系；不必担心会因为信息 要求学生主动建立概念、命题之间的联系；可以分解 的繁杂而顾此失彼；不同的题目之间缺少联系，很少 为一系列的基本命题的组合，也可以通过局部调整产 出现相互组合、或者相互化归的情形；题型的积累与 生各种新的变式题，因此题型的积累与相应的解题经 解题的经验并不重要；解题进程通常是单一方向的， 验非常重要；技巧性高，要求解题者熟练掌握双基，从 即从条件到结论；一般都有现成的解题程序，学生很 而把注意力集中在寻找解题策略上；需要较长的解题 少面临解题思路的抉择与调整；一般只需要几分钟就 时间，高度集中的注意力，较强的意志力和较高的自 能解决问题；不同水平的学生通常有不同的要求，因 信心；对智力是一个挑战，绝大多数解题者都会遇到 此，绝大多数学生都不会遇到太多的解题障碍；背景 各种困难，许多人会遭受失败；一旦获解，则会产生极 的复杂性常常超过数学本身的复杂性． 大的满足感；背景简单、清晰，一般不需要运用日常生 总的来说，数学本身正以前所未有的“纯数学与 活的实际经验． 应用数学，逻辑演绎与实验归纳”相统一的方向发展． 英国数学课程中的问题解决具有以下特征：通常 这表明，数学教育改革也应顺应时代的发展，在“两 具有实际或具体的背景；一般不涉及推理，或者只要 极”之间寻求最佳的动态平衡． 求一步推理；题目中一般都包含有解题所需的全部信 从一个直观疏忽到一个认识深化 陕西师范大学数学系　 　 ７１００６２　 　 罗增儒 　 　 本文谈笔者的一段解题经历：从一道山东高考题 得点Ｐ（ｘ ，ｙ ） 的坐标为 Ｐ Ｐ ＝ － ＝ － 的直观疏忽出发，导致一个认识的深化．首先看题目． ｘ ＯＡ ＢＣ ２ ｓｉｎ２， 例１　 （２０１２年高考数学 { Ｐ ＝ ＋ ＝ － ｙ ＡＣ ＢＰ １ ｃｏｓ２， Ｐ 山东卷理科第１６题）如图１， →＝ － － 所以ＯＰ （２ ｓｉｎ２，１ ｃｏｓ２）． 在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，一 解法２　 如图３，依题意， 单位圆的圆心的初始位置在 滚动后的圆心为点 Ｃ（２，１）， （０，１），此时圆上一点Ｐ 的位 ＝ 点Ａ 为（２，０），∠ＰＣＡ ２，则 置在（０，０），圆在ｘ 轴上沿正 ＝ ＝ 图１