软绳下落的质量再分布与探讨.pdfVIP

软绳下落的质量再分布探讨 陈 静 陈中华 上海电力学院数理学院，上海201300 摘要 软绳在运动过程中可以分解为两个变质量系统，经典力学中的牛顿第二定律并 不适用于单个变质量系统.本文从质量再分布出发推导了此类变质量系统的动 力学方程. 关键词 变质量；软绳；动力学方程 2013年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会论文集 181 ac=gf1一_3x1 (5) ＼ f／ 若地面对软绳的作用力为Ⅳ，根据式(2)对整条软绳写出动力学方程 129+N=lagll一等} (6) ＼、 l／ 解得 N=一3x29 (7) 负号表示地面对软绳的作用力方向竖直向上． 现在我们将整条软绳分成两个系统，如图1中所示，未落地部分为系统1，质量为m，=(，一工)五， 落地部分为系统2，质量为m，=x2，注意到两个系统的质量都是随时变化的． 若要对两个系统分别写出动力学方程，同学们一般都会选用公式(1)，这是因为目前大部分物 理教材中对牛顿第二定律的介绍都有如下描述“当运动过程中质量不变时，式F=dP／df可以得出 F=Ma”或“在一般情况下，物体质量将随时间改变，此时牛顿第二运动定律应写成F=dP／出” 【4，61等．言下之意，当系统的质量是变化的，可以采用式F=dP／dt来求解． 那么将F=dP／出运用到上例，能否得出正确结果呢?稍加分析就很清楚，以系统1为例，该 系统所受到的净外力就是重力，因而有F=(Z—x)29，而系统1的动量为P=(，一x)兄v，求出 警卅V变dt州叫兄詈卅V2州叫协很明显将F和詈代入式(1)，等式并不成立． 2动力学方程的建立 接下来我们将从式(2)出发，推导软绳变质量系统中的动力学方程． 因为总质量m=m1+m2， 我们将式(2)稍作改动为 肚(mI+m2)dm％一 (8) ”还是整条软绳质心运动速度，有 一锡lj十m2哆 (9) ’。m1+m2 vl和v2分别为系统1和系统2的速度，并假定v1屹，将式(9)代入式(8)，得到 (10) F：—d(m,v1+—m2v2)：垫M+嘲堕+堕碥+慨堕 df 出1 1出 出。 2出 又因现+％为常数，因此有 d聊．dm， 出 出 代入上式得 F：一旦堕v1+m，尘i十皇竺v+m，壁生 (12) 出1 1出 出。 2出 将上式中左侧的作用力分成两部分，即 F=曩+E (13) 将式(13)右侧部分也相应分成两块，并令 曩=川。百dvl (14) 182 201