(201311月30日两直线的位置关系、夹角公式及其点线距离)高二数学TTT-学案.王建华.docVIP

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 学员编号： 年 级：高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 T两直线位置关系 T两直线夹角公式 T点到直线距离 授课时间 教学内容 两直线位置关系 知识导入 一、两直线位置关系 平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？ 解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合。 从几何特征上看：相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有两个公共点，进而有无数个公共点。 在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？ 一般地，设两条直线的方程分别为 ：（不全为零）……① ：（不全为零）……② 两条相交直线的交点坐标 思考并回答：如何求直线、的交点？ 由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程联立起来组成的方程组；反之，若两个二元一次方程有公共解，那么以这解为坐标的点必是两条直线的交点。 二、两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系 直线、的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线、的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解。因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线、的位置关系。 回忆解方程组的过程，计算由方程的系数构成的行列式：，，.则 当时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为，此时、相交于一点，交点坐标是。 当且中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时、没有公共点，直线与平行。 当时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时、有无数多个公共点，即直线与重合。 结论：两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系： ① 与相交方程组(Ⅰ)有唯一解即； ② 与平行方程组(Ⅰ)无解且中至少有一个不为零； ③ 与重合方程组(Ⅰ)有无穷多解。 时，与平行或重合，即是与平行的必要非充分条件。换言之，∥；若两条直线不重合，则// 三、向量分析两直线位置关系 从向量的角度，两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢？ 与的一个方向向量分别是,；一个法向量分别是,，则与有如下关系： ① 和相交不平行不垂直； 特别地，直线⊥⊥； ② //平行垂直 ； ③ 和重合平行垂直 。 四、三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？ 由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论。 若和都没有斜率，则与平行或重合。 若和中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则⊥。 若两直线的斜率都存在，直线方程可以化为：，：，则有： ① //且； ② 和重合且； ③ 和相交； 特别地，直线⊥的充要条件是。 [说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑，使用时要注意方法上的选择。一般情况，采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用。 典型例题 【例1】已知两条直线：，：。当与： (1)相交，(2)平行，(3)重合。 【例2】求经过原点且经过直线与直线的交点的直线方程。 【例3】已知直线：与：，求实数的值，使直线与平行。 【例4】若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 【例5】设直线的方程为，求证：不论为何值，所给的直线经过一定点。 课堂检测 1、等腰三角形一腰所在的直线的方程是，底边所在的直线的方程是，点在另一腰上，求这腰所在直线的方程. 2、光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程. 3、已知两条直线：：(3+m)x+4y=5-3m，：2x+(5+m)y=8．m为何值时，与：(1)相交；(2)平行；(3)重合。 4、求满足下列条件的方程： (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点，且与直线垂直的直线的方程。 5、已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为． 6、直线过点且与直线和分别交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程. 7、已知三角形的顶点,边的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程. 两条直线平面上两条直线和相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角。如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0。因此，两条直线的夹角的取值范围是 ，而两条相交直线夹角的取值范围是（。 当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？ 设两条直线的方程分别为 ：（不全为零） ：（不全为零）. 设与的夹角为，与的一方向向量分别为与，其夹角为，且=,=， 当时，则如图甲所示；当