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第六讲 计算机控制系统的理论基础 1 引言 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题，在解决连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。 拉普拉斯变换具有几个显著的优点： 1、简化了函数：指数函数具有不连续点转换为简单初等函数。 2、简化了运算： 把微分、积分转换为乘法及除法运算。 把微分方程转换为代数方程。 把卷积运算转换为乘法运算。 3、不需要确定常数：解微分方程。 4、有效利用了阶跃响应和冲激响应。 5、利用系统函数的零极点分布可以 直观地表达系统性能的许多规律。 2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换 傅立叶变换存在的充分条件： 信号 满足 条件。 这一条件限制了某些增长信号傅立叶变换存在。 ∴若乘以一个衰减因子 （ 为任意实数）使它与 相乘 于是 得以收敛绝对可积条件容易满足。 都收敛，傅立叶存在。 即 拉普拉斯正变换 记为： L 推导逆变换： 等式两边各乘以 ： ∴ 二、拉氏变换与傅氏变换的关系： 因果 三、一些常用函数的拉氏变换 1、 L 2、指数函数 L 3、 L ∴L L L L L 4、 L L 三、Z 变换回顾 (二） Z变换的基本性质和定理 共有线性、移位、Z域尺度、 Z域求导等12条性质 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： 2.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 3.7 线性离散控制系统稳定性分析 3.7.1 Z平面上系统稳定的条件 3.7.2 S平面到Z平面的映射 3.7.3 闭环脉冲传函极点的位置与暂态响应的关系 四 Z平面上系统稳定的条件 要求闭环系统脉冲传递函数的全部极点满足： 这一条件说明系统稳定条件是闭环脉冲传 递函数的全部极点 位于 平面 上以原点为圆心的单位圆内。 3.7.2 S平面到Z平面的映射 复变量 s 与 z 的关系为： ，T为采样周 期。 当 时， ，其幅 值为 ，当 位于 平面虚轴的左半部时， 为负数，这时 ，反之，若 位于虚轴的右 半部时， 为正数， 。 例 3.22 分析系统的稳定性 T=1s 五 脉冲传递函数 5.1脉冲传递函数的基本概念 ⒈脉冲传递函数之定义 在线性连续系统中，把初始值为零时, 系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，定义为传递函数。在线性离散系统中，把初始值为零时，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，定义为脉冲传递函数。 对于如图所示离散系统： 1.理想采样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想采样信号， 则 (一).Z变换与拉氏变换的关系 ！！复回顾：连续号的FT与LT关系 序列 的z变换为 ，考虑到 , 显然，当 时，序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于