2015年年全国大学生数学建模竞赛国家二等奖c题论文【荐】.docVIP

古塔的变形 摘要 本文对古塔的各层中心坐标，倾斜、弯曲、变形问题，采用数据插值、最小二乘法、回归分析法及Excel软件与Matlab软件，进行求解，具体步骤如下： 1．第13层中第5个观测点空白数据处理 对1986年和1996年，第13层中第5个观测点进行了估计，采用数据插值方法中的3次样条插值，算出1986年数据分别为566.308，519.7624， 52.7686及1996年数据568.0575，519.7562，52.7657 。 2．模型建立及求解各层中心坐标 将空间中每层观测的点分别投影到,,各平面，通过最小二乘法确定出以投影的点为中心的中心直线，以三条直线为母线做平行于三角坐标的平面，求解三个平面的交点即为中点的坐标。 利用Excel及Matlab软件求解出各层中心坐标。 3．古塔倾斜分析 将古塔各层相邻的中心坐标连接起来，构成空间向量，通过求解向量的夹角、、来确定古塔的倾斜情况。计算与仿真结果表明，古塔中心各层间都有倾斜，但在8-9层，12-13层时倾斜更为严重。 4．古塔扭曲，变形分析 将中心坐标投影到面，计算相邻层上投影点构成的直线的斜率，得到夹角。该角度说明了中心发生倾斜时的方向、角度大小描述了扭曲程度大小。结果表明古塔朝着平面的第四象限偏移大。 5．古塔变形预测 采用多元回归分析法，根据最小二乘法原理，拟合出古塔最终变形的趋势。从图中可以看出古塔是各层不断的发生变化。并且在8-11层变形严重。 关键词：中心直线 插值 曲线拟合 回归分析 一、问题重述 由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。 二、模型假设 1．假设对模型计算结果均保留四位有效数字，不影响其变形趋势； 2. 假设任意两层中心的连线为直线时，考虑其倾斜程度； 3. 假设任意两层中心的连线为曲线时，考虑其弯曲、扭曲程度。 4.假设古塔是规则图形； 5.假设古塔刚建好时地面平坦没有倾斜和扭曲。 三、符号说明 1．，表示空间中点的坐标； 2.为投影平面直线方程的参数； 3.表示空间投影到平面上的各点距离之和的最小值； 4.三个平面的交点； 5.、、（，，）表示向量的方向角； 6.两点构成的直线的倾斜角； 7.回归中未知参数。 四、模型建立及求解 1. 中心位置模型建立 以古塔其中一层为研究对象，建立中心位置的数学模型。 设，是古塔第层的观测的数据，为空间中的点。首先，将，投影到平面上，得到观测数据记为，。 在平面直角坐标系中，建立以这些点构成的中心直线方程，记为，要求使各点，到直线的距离之和最小，即用最小二乘法。将问题转化为求解的最小值。由二元函数极值原理，令 即可求得，确定出直线方程 （，投影到平面上，得到观测数据记为，。采用二元函数极值原理，可确定出直线方程 （，投影到平面上，得到观测数据记为，。可确定出直线方程 （。 2.模型求解 （1）题目中给出的1986年和1996年观测数据中，第13层中第5个观测点没有数据。 利用数据插值的方法，将这个数据估计出来。在此，利用Matlab中3次样条插值，给出缺失数据。调用函数spline，数据计算如下所示：（计算的缺失数据加黑显示） 表一 1986年第13层观测值 表二 1996年第13层观测值 13层 x/m y/m z/m 1 566.308 525.092 52.866 2 564.716 523.616 52.878 3 564.418 521.521 52.897 4 565.91 519.893 52.88 5 566.308 519.7624 52.7687 6 569.701 521.05 52.703 7 569.897 523.188 52.794 8 568.582 524.822 52.822 13层 x/m y/m z/m 1 566.3142 525.0857