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高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第七节 方向导数与梯度 一.方向导数 偏导数反映的是函数沿坐标轴方 向的变化率,但许多物理现象告诉我 们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变 化率外,还应该考虑其它方向的变化 率.现在我们研究函数沿任一指定方 向的变化率问题. x y P0(x0,y0) el P(x,y) L α β 设L是xoy平面上以p0(x0,y0)为始点的一条线,el=(cosα,cosβ) 是与L同方向的单位向量.射线l的参数方程为 设函数z=f(x,y)在点 如 的 距离 内有定 的某个邻域 义, 为L上另一点,且 果函数增量 与P到 的比值 当P沿L趋于 (即t→0+)时的极限 方向导数 存在,则此极限称为函数 沿方向L的方向导数, 变化率. 就是函数f(x,y)在点p0(x0,y0)处沿方向L的 f(x,y)在点 记作 若eL=j=(0,1) 但反之,若eL=i, 在点(0,0)沿 L=i方向的方向导数 若函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的偏导数存在,el=i=(1,0) 定理 如果函数f(x,y)在点 其中cosαcosβ是方向L的方向余弦. 证明:由假设,f(x,y)在点(x0,y0)可微分,故有 其原因是方向导数有正方向,所以它的导数存在,而 (0,0) 点偏导数因为是±1,故不存在. 下面的定理是回答保证存在方向导数的条件. 可微分,那么函数在该 点沿任一方向L的方向导数存在,且有 但点(x0+△x,y0+ △y)在以(x0,y0)为始点的射线L上时,应有 △x=tcosα△y=tcosβ, 这就证明了方向导数存在,且其值为 例1 求函数z=xe2y在点p(1,0)处沿从点p(1,0)到点Q(2,-1)的方向 的方向导数. 解:这里方向L即向量PQ=(1,-1)的方向,与L同方向的单位向量为 e 因为函数可微分,且 对于三元函数f(x,y,z),它在空间一点P0(x0,y0,z0)沿方向 eL=(cosα, cosβ,cosγ)的方向导数为 同样可证明:如果函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)可微分,那么函 数在该点沿着方向el=(cosα, cosβ,cosγ)的方向导数为 例2 求f(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数,其中 L的方向角分别为600,450,600. 解:与l的方向相同的单位向量 el=(cos600,cos450,cos600)= 因为函数可微分,且 由公式(4) 二. 梯度 与方向导数有关系的一个概念是梯度.在二元函数的情形, 设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每 一点p0(x0,y0)∈D,都可定出一个向量 fx(x0,y0)i+fy (x0,y0)j 这 个向量称为函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的梯度,记作grad f (x0,y0), 即 grad f (x0,y0)= fx(x0,y0)i+fy (x0,y0)j 如果函数f(x,y)在点p0(x0,y0)可微分,eL=(cosα,cosβ)是与方 向L同向的单位向量,则 其中θ=(gradf(x0,y0),el)是 与gradf( )的夹角 θ=0,即沿梯度方向时,方向导数得到最大值,这个最大值就是梯度的模 这关系式表示函数在一点的梯度与函数在这点的方向导 数之间的关系. 这说明函数在一点的梯度是个向量,它的方向是函数在这点 的方向导数取得最大值的方向,它的模等于方向导数的最大 值. Z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为 z=f(x,y) z=c. 这条曲线L在xoy面上的投影是一条平面曲 线L*,它在xoy平面直角坐标系中的方程为 f(x,y)=c 对 于曲线L*上的一切点,已给函数的函数值都是c,所以 我们称平面曲线L*为函数z=f(x,y)的等值线. 若fx,fy不同时为零,则等值线f(x,y)=c上 任一点P0(x0,y0)处的一个单位法向量为 gradf(x,y) f(x,y)=c f(x,y)=c2 f(x,y)=c1 L* x y 这表明梯度grad f(x0,y0)的方向与等值线上这一点的一个 法线方向相同,而沿 这个方向的方向导数等于该点的梯度,即 这关系式表示函数在一点的梯度方向与等值线在这一点的 一个法线方向相同,它的指向为数