新人教A版选修2-2《1.3.3 函数的最大(小)值和导数》知能检测及其答案.docVIP

1.3.3 函数的最大（小）值与导数课后知能检测 新人教A版选修2-2 一、选择题 1．(2013·杭州高二检测)函数y＝x＋2cos x在[0，]上取最大值时，x的值为(　　) A．0　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　y′＝1－2sin x，令y′＝0得x＝. 又f(0)＝2，f()＝＋2×＝＋，f()＝. 当x＝时，f(x)有最大值，故选B. 【答案】　B 2．函数y＝x·e－x在x[2,4]上的最小值为(　　) A．0 B. C. D. 【解析】　y′＝＝，当x[2,4]时，y′0，即函数y＝x·e－x在x[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数有最小值. 【答案】　C 3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 【解析】　由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37. 【答案】　A 4．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是(　　) A．2≤a≤ B．－≤a≤ C．2≤a≤16 D．－≤a≤16 【解析】　f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a， 可化为x－x＋6x0＝a， 设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2. g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16. 由题意，gmin(x)≤a≤gmax(x)，－≤a≤16. 【答案】　D 5．(2013·长沙高二检测)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　) A．1 B. C. D. 【解析】　由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－lnt(t0)， 令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－(舍去)． F(t)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 故t＝时，F(t)＝t2－ln t(t0)有极小值，也为最小值．即|MN|达到最小值，故选D. 【答案】　D 二、填空题 6．若函数f(x)＝(a0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 【解析】　f′(x)＝＝，当x时，f′(x)0，f(x)单调递减，当－x时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝1，不合题意． f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. 【答案】　－1 7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.若x＝3是f(x)的极值点，则f(x)在x[1，a]上最小值和最大值分别为________． 【解析】　由题意知f′(x)＝3x2－2ax＋3＝0的一个根为x＝3，可得a＝5， 所以f′(x)＝3x2－10x＋3＝0的根为x＝3或x＝(舍去)，又f(1)＝－1，f(3)＝－9，f(5)＝15，f(x)在x[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15. 【答案】　－9,15 8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(xR)，若对于任意的x(0,1]．都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________． 【解析】　因为x(0,1]， 所以f(x)≥0可化为a≥－. 设g(x)＝－，则g′(x)＝. 令g′(x)＝0，得x＝. 当0x时，g′(x)0； 当x≤1时，g′(x)0. 所以g(x)在(0,1]上有极大值g()＝4，它也是最大值，故a≥4. 【答案】　a≥4 三、解答题 9．(2013·山东高考改编)设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，cR)．求f(x)的单调区间、最大值． 【解】　f′(x)＝(1－2x)e－2x，由f′(x)＝0，解得x＝. 当x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为f＝e－1＋c. 10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)≥2 010对于x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围． 【解】　(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)0，得x－1或x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1. 因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a， 故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a. 要使f(x)≥2