1.建模基本步骤【荐】.ppt

教材（参考书）名称 出 版 社 作者 版次 出版年月 ISBN 数学模型 高等教育出版社 姜启源等 第3版 2003.8 7-04-011944-7 数学的实践与认识 工程数学学报 MCM/ICM优秀论文集 大学生数学建模的理论与实践 湖南教育出版社 叶其孝等 周 日期 学时 课 程 内 容（讲授、讨论） 上课教师 3 3.1 3 数学建模基本方法与微分、差分方法建模 江新华 4 3.8 3 优秀论文选讲（1）：2004：SARS传播的建模 江新华 5 3.15 3 优秀论文选讲（2） 江新华 6 3.22 3 图论基本理论与建模 郭秋敏 7 3.29 3 优秀论文选讲（3） 郭秋敏 8 4.5 清明节放假 9 4.12 3 优化问题建模方法与求解 袁文燕 10 4.19 3 优秀论文选讲（4） 袁文燕 11 4.26 3 优秀论文选讲（5） 袁文燕 12 5.3 3 随机分析基本知识 李志强 13 5.10 3 随机问题的数学建模/优秀论文选讲（6） 李志强 14 5.17 2 优秀论文选讲（7） 李志强 第一次 建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模示例 1.3 数学建模的方法和步骤 1.4 数学模型的特点 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 1.1 从现实对象到数学模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1.2 数学建模示例 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4