习题精选精讲之指数函数.docVIP

指数函数 　　指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 　　1．比较大小 　　例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____． 　　分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内． 　　解：∵， 　　∴函数的对称轴是． 　　故，又，∴． 　　∴函数在上递减，在上递增． 　　若，则，∴； 　　若，则，∴． 　　综上可得，即． 　　评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 　　2．求解有关指数不等式 　　例2　已知，则x的取值范围是___________． 　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 　　解：∵， 　　∴函数在上是增函数， 　　∴，解得．∴x的取值范围是． 　　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 　　3．求定义域及值域问题 　　例3　求函数的定义域和值域． 　　解：由题意可得，即， 　　∴，故． ∴函数的定义域是． 　　令，则， 　　又∵，∴． ∴，即． 　　∴，即． 　　∴函数的值域是． 　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 　　4．最值问题 　　例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______． 　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围． 　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为． 　　∴当时，∵， 　　∴，即． 　　∴当时，． 　　解得或（舍去）； 　　当时，∵， 　　∴，即， 　　∴ 时，， 　　解得或（舍去），∴a的值是3或． 　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 　　5．解指数方程 　　例5　解方程． 　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是． 　　评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 　　6．图象变换及应用问题 　　例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）． 　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 　　分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 　　解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）． 　　评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数的大小： 　　（1）若 ，比较 与 ； 　　（2）若 ，比较 与 ； 　　（3）若 ，比较 与 ； 　　（4）若 ，且 ，比较a与b； 　　（5）若 ，且 ，比较a与b． 　　　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． 　　（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． 　　（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． 　　（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 　　（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 　　小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (? ). 　　 ? 　　 　　 　　( 　　分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 　　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域. (1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1. 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1， ∴y＝2的值域为｛y｜y0且y≠1｝. (2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)21. ∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y1｝. 4 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=