幂函数与指数函数的区别.docVIP

幂函数与指数函数的区别1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a0，a不等于1） 性质比较单一，当a1时，函数是递增函数，且y0; 当0a1时，函数是递减函数，且y0. 2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）. a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。 高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。 3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y的值；或者将其看成：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。 ? 幂函数的性质： 根据图象,幂函数性质归纳如下： （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1,1）； （2）当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数． 特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸； （3）当a0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数．在第一象限内， 当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调， 当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外。 思考讨论： （1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？ （2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？ 讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。 对数函数的性质 (1)当a＞1时， ①x ＞0，即0和负数无对数； ②当x=1时，y=0； ③当x ＞1时，y＞0；当0＜ x ＜1时，y ＜0； ④在（0，+∞）上是增函数． (2)当0＜a＜1时， ①x ＞0，即0和负数没有对数； ②当x=1时，y=0； ③当x ＞1时，y ＜ 0；当0＜ x ＜1时，y ＞0； ④在（0，+∞）上是减函数． ? 函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）． 2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算。 　　1．对数的定义:　　如果ab=N(a0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。　　注意:由于a0，故N0，即N为正数，可见零和负数没有对数。　　上面的问题:　　通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。 　　2．对数式与指数式的关系　　由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。 　　由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。 　　3．三个对数恒等式　　由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a0，a≠1）前提下有:　　 　　4. 三个运算法则:　　指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a0，a≠1的前提下有: 　　(1) 　　令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN， 　　∵ ，∴ m+n=loga(MN)，即 　　(2) ， 　　令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN， 　　∵ ，∴ ，即 。 　　(3) ，令am=M，则有 m=logaM，∴mn=n 　　∵ Mn=amn，∴ mn= (n∈R)，∴ n = 。 　　5．两个换底公式 　　同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a≠1，M0的前提下有: 　　(1) 　　令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即 ，即 ，即:。 　　(2) ，令logaM=b，则有ab=M，则有 　　即，即 ，即 　　当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论: 　　例题选讲: 第一阶梯 ??? [例1]将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： ??? (1)log216=4；??? ???? (3)54=625；? ? ???? ??? ?? ??? 解： ??? (1)24=16 ??? ? ??? (3)∵54=625，∴log5625=4. ??? ????