2.1.1 指数概念的推广.docVIP

2.1.1　指数概念的推广 学习目标 重点难点 1．能说出根式的概念，知道什么是根指数，什么是被开方数； 2．能解决根式的化简问题； 3．能解决分数指数幂与根式的互化及运算问题. 重点：根式的概念以及对根式的化简； 难点：分数指数幂与根式的互化以及运算问题. 1．整数指数幂 (1)整数指数幂的概念 ①an＝(n∈N＋)；②a0＝1(a≠0)； ③a－n＝(a≠0，n∈N＋)． (2)整数指数幂的运算法则 a＞0，b＞0，m，n∈N＋， ①aman＝am＋n； ②＝am－n(m＞n，a≠0)； ③(am)n＝amn； ④(ab)m＝ambm； ⑤m＝(b≠0)． 2．根式 (1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根． (2)当n是奇数时，数a的n次方根记作. (3)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作. (4)式子叫作根式(n∈N，n≥2)，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 1 ()n与的含义相同吗？它们有何异同？ 提示：①对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时()n才有意义，且()n＝a(a≥0)． ②对的理解：对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝如＝－3，＝|－3|＝3. 3．正数的分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 ①＝(a＞0)； ②＝(a＞0，n，m∈N＋，且为既约分数)； ③＝(a＞0，n，m∈N＋且为既约分数)． (2)分数指数幂的运算法则 a＞0，b＞0，α，β∈Q， ①aαaβ＝aα＋β； ②(aα)β＝aαβ； ③(ab)α＝aαbα. 2 将分数指数幂化为根式时，对幂指数有何要求？ 提示：在将分数指数幂化为根式时，应首先将化为一个最简分数，再按照分数指数幂的意义化为根式．例如：＝，＝＝. 3 以下运算是否正确？ . 提示：不正确．在进行指数幂的运算时，若要用到指数幂的运算法则，必须注意幂的底数是正数的规定．当a＜0，b＜0时，运算法则(3)：(ab)α＝aαbα不再成立． 4．正数的无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 一、根式的求值与化简 求值或化简下列各式： (1)；(2)；(3)； (4)(其中x＜0，y＜0，z＜0)． 思路分析：根式的求值与化简问题，关键是去根号，去掉根号时一定要注意对根指数n分奇数和偶数进行讨论． 解：(1)＝－3； (2)＝＝＝； (3)＝|3－π|＝π－3； (4)＝－＝－＝－x2y3z4. 对下列各式求值或化简： (1)；(2)()5； (3)；(4). 解：(1)＝＝0.1； (2)()5＝－3； (3)＝ ＝|2x－1|＝ (4)＝|3a－3|＝ 1．解决根式的求值与化简问题，要充分运用与()n这两个根式的运算结果，将原根式进行必要的变形，使之符合上述两种形式之一，然后再进行求值与化简． 2．当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|，因此一定要分清n的奇偶性． 二、根式与分数指数幂的互化 (1)将下列分数指数幂化为根式：，，； (2)将下列各式用分数指数幂的形式表示：，，. 思路分析：可按照分数指数幂的定义进行互化． 解：(1)＝； ＝； ＝＝. (2)＝； ； . 1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(　　)． A．－＝ B．＝－ C．＝(x，y≠0) D．＝(x＜0) 答案：C 解析：，故A错；＝，故B错；＝＝，故C正确；，故D错． 2．将下式化为分数指数幂的形式：. 解：＝. 三、分数指数幂与根式的化简与运算 (1)化简下列各式： ①； ②. (2)求下列各式的值： ①； ②0.5＋0.1－2＋－3π0＋. 思路分析：先将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则进行幂的乘方、乘除运算，最后再做加、减运算． 解：(1)①原式＝ ＝＝a－1＝； ②原式＝ ＝＝a0＝1. (2)①原式＝＋－－· ＝＋－－22 ＝－－1－4 ＝－5； ②原式＝＋102＋－3＋ ＝＋100＋－3＋ ＝100. 1．化简：(1)________(m＞0，n＞0)； (2)－＋＝________； (3)(a＞0)＝__________. 答案：(1)　(2)　(3) 解析：(1)； (2)原式＝－＋＝； (3)原式＝. 2．化简或计算下列各式： (1)－－1×； (2)(x＞0，y＞0)； (3)． 解：(1)原式＝－(3×1)－1×＝－×1－3＝0. (2)原式＝. (3)原式＝. 1．若式子中既含有分数指数幂，又含有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再利用有理指数幂的运算法则