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专题二 长方体和正方体 一．长方体 1.概念 长方体(cuboid)是底面是长方形的直四棱柱。长方体是由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形. 2.有关名称 〔1〕长方体有6个面。每组相对的面完全相同。 〔2〕长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。 〔3〕长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。 (4) 长方体相邻的两条棱互相垂直。 3.表面积 因为相对的2个面面积相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。 设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积为S长方体=(ab+bc+ca)×2，也等于2ab+2bc+2ca；公式：长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，或：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2 4.体积 长方体的体积=长×宽×高设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积V = abc=Sh ，因为长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用。长方体体积=底面积× 高，即V=Sh（S是底面积）。 长度 长方体的对角线是长方体的任意一个顶点到对边顶点的长度，如图所示： 对角线的长度： 依据勾股定理，点2和点3的长度是根号(点1到点2的长度的平方+点1到点3的长度的平方），而点2到点3的线又与点3到点5的长度形成直角，所以对角线的长度是： （注：(x,y)是指点x到点y的长度） 长方体对角线平方=长平方+宽平方+高平方 二．正方体 1.概念 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体。侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”、“正六面体”。正方体是特殊的长方体。正方体的动态定义：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。 2.特征 〔1〕正方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。 〔2〕正方体有12条棱，每条棱长度相等。 （3）正方体有6个面，每个面面积相等。 3.表面积 因为6个面全部相等，所以正方体的表面积=底面积×6=棱长×棱长×6 设一个正方体的棱长为a，则它的表面积 4.体积 正方体的体积(或叫做正方体的容积）=棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为： V=a×a×a或等于体对角线=根号3倍棱长 （要正确区分体对角线和面对角线，面对角线是平面几何中的概念而体对角线是立体几何中的概念） 也可以用正方体的体积=底面积×高计算 同时，正方体的体对角线也等于：体对角线的平方=长的平方+宽的平方+高的平方 5.相关概念 棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米。 棱长是1米的正方体，体积是1立方米。 外接球半径： R=长方体体对角线的一半 内切球半径： r=正方体边长的一半 6.棱长总和 是指正方体每条边的长度。[1]? 棱长总和=棱长×12 平面截正方体： 用一个平面截正方体。 可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、正五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。 具体做法： 三角形—过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。矩形——过两条相对的棱或一条棱。正方形——平行于一个面。 五边形——过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。六边形——过六条棱上的点。正六边形——过六条棱的中点。菱形——过相对顶点。梯形——过相对两个面上平行不等长的线。 展开图 我们已经知道正方体的平面展开图一共有11种。 正方体有11种平面展开图，不可谓不多，那么，我们该如何理解掌握这11种正方体的平面展开图呢？ (1)通过操作明了哪些图形可以成为正方体的展开图． 我们知道正方体有6个面，每个面都是相同的正方形.我们把6个相同的小正方形排出可能的正方体的展开图的平面图形．一共有35种平面图形。然后动手操作，把他们依此进行折叠，排除不能够折叠成为正方体的平面图形，保留能够折叠成正方体的平面图形，保留下来的图形就是正方体的平面展开图． 通过折叠，右图的带彩色的11种平面图形能够折叠成为正方体，因此它们就是正方体的平面展开图。 (2)对正方体的11种平面展开图进行分类分别记忆掌握． 正方体的平面展开图有11种之多，不容易记牢记全．为了更好的记忆掌握，我们可以把这11种展开图分成4类，只要把握各类的特征，就容易记忆了． 第一类：中间四连方，两侧各一个，共6种。 正方体十一种展开图(4张) 第二类：中间三连方，两侧各一、二个，共3种。 第三类：中间二连方，两侧各两个，只有1种。第四类：两排各3个，也只有1种。 对正方体表面展开图的11种情况，为加深记忆，可编成如下口诀：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展