计算方法_习题第一、二章答案.docVIP

第一章 误差 1 问3.142，3.141，分别作为π的近似值各具有几位有效数字？ 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65… 记x1=3.142，x2=3.141，x3=. 由π- x1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知 因而x1具有4位有效数字。 由π- x2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知 因而x2具有3位有效数字。 由π-=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知 因而x3具有3位有效数字。 2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。 解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？ 分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a1是1到9间的数字。 设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。 4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a1=9。 解不等式知取n=4即可满足要求。 5 计算，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。 解 0.131 8×10-2-0.131 6×10-2=0.2×10-5 结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算： 就得到4位有效数字的结果。 此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算时，应先把算式变形为 再计算。又例如，当x充分大时，应作变换 6 计算，取，采用下列算式计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 问哪一个得到的结果最好？ 解 显然 所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取时，有|△x|0.015，再由的误差 也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最小。 具体计算可行： （1）； （2） （3）； （4）. 比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。 7 求二次方程x2-(109+1)x+109=0的根。 解 由于x2-(109+1)x+109=（x-109(x-1)，所以方程的两个根分别为 x1=109，x2=1 但如果应用一般二次方程ax2+bx+c=0的求根公式： 由于当遇到b24|ac|的情形时，有，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.1×1010+0.000 000 0001×1010，b=109. 通过类似的分析可得 所以，求得的两个根分别为 显然，根x2是严重失真的。 为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：，在计算机上采用如下公式： 其中，sgn（b）是b的符号函数，当b≥0时sgn（b）=1；当b0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。 8 当N充分大时，如何计算 分析 函数的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。 解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tanθ1=N+1, tanθ2=N，则由,得 就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用计算积分