极坐标计算二重积分.pptVIP

小结 * * 极坐标系下二重积分的计算 二、二重积分的极坐标转化及计算 一、极坐标与直角坐标系的关系 什么是极坐标? 在平面内取一个定点O， 引一条射线OX， 这样就建立了一个极坐标系。 叫做极点。 叫做极轴, 对于平面内任一点M, 记 |OM|= r , X O r ? M （r，?）就叫做点 M 的极坐标。 ∠XOM= ? , 平面上任一点 （r，?） 一、极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系： 设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形见下图. 二重积分中被积函数 求极坐标下的积分元素 的表示方法。 二、二重积分的极坐标转化及计算 1、二重积分的极坐标转化 图中分割的其中一小块的面积为 略去高阶无穷小 则有 ?? ? r?r??, 故 d? = rdrd?. 于是, 二重积分 二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形 1、区域特征如图 D： 2、区域特征如图 D： 极坐标系下区域的面积 3、区域特征如图 例1 将 化为在极坐标系下的二次积分。 1） 4） 2） 3） 1） 解： 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 2） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 3） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 4） 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 例2 求 D: x2 + y2 ? R2 (R0). 解 在极坐标下D: 0 ? r ? R, 0 ? ? ? 2?. 利用极坐标计算二重积分 例3 求 D: x2 + y2 ? 2ax (a 0). 解 积分区域D如图, 在极坐标下D: 0 ? r ? 2acos? , 例4 求 (a0). 解 积分区域D见图, 采用极坐标计算, 原式 = y = x x2+y2=2ay 例5 求 的值. 解 考虑区域D: 0 ? x ?+?, 0 ? y ?+?, 记 故