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山东大学物理学院 宗福建 《电动力学》第9讲 第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(3) §2.3 静磁场的矢势 教学体系 Maxwell方程组 Maxwell方程组 标势 的Poisson方程 静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为ρ ，设r为由源点x 到场点x的距离，则场点x处的电势为 上一讲习题解答 上一讲习题解答 上一讲习题解答 本讲主要内容 静磁场的矢势 矢势的微分方程 矢势的多极展开 磁偶极子的场 静磁场的矢势 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的磁场部分为 静磁场的矢势 磁场的特点和电场不同。静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷,静电场线永不闭合。 静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。 静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述。但是由于磁场的无源性，我们可以引入另一个矢量来描述它。 静磁场的矢势 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若 则 B 可表为另一矢量的旋度 A 称为磁场的矢势。 静磁场的矢势 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得 式中左边是通过曲面S的磁通量。 由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L有关，而和曲面的具体形状无关。 静磁场的矢势 矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A(x)则没有直接的物理意义。 静磁场的矢势 由矢势A可以唯一确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A。 即 A+▽ψ与A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，而每点上的A本身没有直接的物理意义。 静磁场的矢势 由A的这种任意性，我们还可以对它加上一定的限制条件，由下面的推导可知，对A加上辅助条件 是特别方便的。 静磁场的矢势 我们先说明对A加上条件总是可以的，也就是说总可以找到一个A，满足 设有某一解A不满足上式， 静磁场的矢势 我们另取一解 A的散度为 静磁场的矢势 取 ψ 为泊松方程 的一个解，代入上式，所得的A 就满足 ▽· A = 0。 对A所加的辅助条件称为规范条件。 矢势微分方程 把 B = ▽× A 代入 得矢势A的微分方程 矢势微分方程 由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式）， 若取A满足规范条件 ▽· A = 0 ，得矢势A的微分方程 ,又称矢势A的泊松方程。 矢势微分方程 A的每个直角分量 Ai 满足泊松方程 这些方程和静电势 φ 的方程 有相同形式。 矢势微分方程 静电势 φ 的方程 矢势微分方程 对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式的特解 式中x 是源点，x是场点，r为由x 到x的距离。 矢势微分方程 求出A以后，取旋度即可求出B。 矢势微分方程 这就是毕奥-萨伐尔定律。 过渡到线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 J dV → I dl 得 磁场的能量 由第一章，磁场的总能量为 磁场的能量 磁场的能量 磁场的能量 和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把 A·J/2 看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在与电流分布区域内。 矢势的多级展开 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为 矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 矢势的多级展开 展开式的第一项为 由教材第46页，习题5知 矢势的多级展开 所以，对于稳恒电流： 此式表示和电场情形不同，磁场展开式不含磁单极项，即不含与点电荷对应的项。 矢势的多级展开 展开式的第二项为 矢势的多级展开 把并矢Jx’表示为对称部分与反对称部分之和，则对称部分对应于电四极矩对时间的导数，反对称部分对应于磁偶极矩。 矢势的多级展开 矢势的多级展开 首先，对称部分 矢势的多级展开 首先，对称部分,变化电四极矩的贡献。稳恒电磁场情况下，该部分的贡献为0。 矢势的多级展开 其次，反对称部分 矢势的多级展开 反对称部分，相当于电流环。磁偶极矩的贡献。 矢势的多级展开 则，m称为电流的磁矩 矢势的多级展开 对某闭合电流流线管 JdV Idl 式中 称为电流线圈的磁矩。 矢势的多级展开 展开式中： 第1项为0； 第2项为磁偶极矩的贡献； 其他更高次项，我们不予讨论。 矢势的多