第二章高斯曲率的计算公式.docVIP

曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯定理 。 注意 ， ， 。 所以 ， 利用行列式的性质和矩阵乘法，得 ， 由于 ， ， ， 所以 ， 于是得到 对于曲面上的正交坐标网来说， ， 此时 ， 。 于是，曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定，所以高斯曲率也是曲面的内蕴量，公式被称为高斯定理，且被誉为著名的高斯定理。 据说，高斯当年发现并证明出来后，非常兴奋，欣喜若狂。 半测地坐标网下， 高斯曲率的计算公式 在类曲面 ： 上选一条测地线为--曲线：；再取与正交的测地线族为--曲线，另取这测地线族的正交轨线为--曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为 ， 其中满足条件 。 在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式 。 常高斯曲率的曲面 现在设曲面的高斯曲率是常数，即常数，则得微分方程 。 根据初始条件：， 我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。 正常数高斯曲率的曲面，， 此时 。 根据初始条件，可得， 于是， 。 实例：考虑球心在原点，半径为的球面。 取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。 设球面上点的经度为，纬度为， 则球面的参数表示是 。 ， ， 。 在球面上重新选择参数，命 于是 ， 高斯曲率 ， 因此得到 ， 所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。 正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。 （2），从而有， 因此， 所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。 （3）负常数高斯曲率的曲面，， 此时 。 根据初始条件，可得， 于是， 。 由此可知, 具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数, 使曲面具有相同的第一基本形式, 因此可建立等距对应. 由上述定理知道, 具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按K 0;K = 0;K 0 分成三种类型. 而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的. 平面作 为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应. 那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表? 设 , 我们可以在旋转曲面中找出这个代表. 设旋转曲面的待定母线为平面中的曲线. 把它绕z 轴旋转后形成了旋转面 ，； 代入旋转曲面的高斯曲率公式 得其高斯曲率为 为了使这个曲面的高斯曲率 所以待定函数就必须满足下列方程: ， 将其改写成 ， 两边积分后得到 取积分常数, 于是可解出 ， 由此得出， ， 令， 则 ， 于是 。 因此，以母线 绕z -轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数。 我们把母线(4.4)称为曳物线. 而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面. 由著名的高斯定理, 曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定. 因此, 若两个曲面可建立等距对应, 则对应点的高斯曲率必相等. 但反之则不然. 【例１】证明: 曲面 ，（正螺面） ， (旋转曲面) 在点与处的高斯曲率相等, 但曲面S 与不存在等距对应. 【证明】容易算出正螺面与旋转曲面 的第一基本形式分别为 ， 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程) 经过计算得出曲面S 和 的高斯曲率分别为 ， 。 因此取对应点，便成立。 但是曲面S 与不存在等距对应. 我们用反证法. 若曲面S 与之间存在等距对应, 它的对应关系为 则对应点的高斯曲率必相等, 所以得出 ， 即， 或 ； 若 则或 。 因此对应关系为 这时的第一基本形式 ， 因为是等距对应, 故， 比较得出 由其中第二式得出或, 再由第一式或第三式得出或 ，这显然不可能成立. 因此这种情况不可能. 若 ， 则。这显然不可能成立. 因此曲面S 与之间不能存在等距对应. 尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应, 但是对高斯曲率为常数的曲面, 若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的. 定理4.1 (Minding定理) 具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应. 证明 设曲面S 的高斯曲率K是常数,。 在S 上取任意点P 和过P 点的任意测地线 , 把作为--曲线；且从P 点起的弧长为v . 再取与正交的测地线族为--曲线，另取这测地线族的正交轨线为--曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言， （注意, 这时 的曲线也是测地线）。因此曲面的第一基本形式 可以简化为 ， 根据假设v 是 的弧长, 所以， 于是 (4:1) 又因 是测地线, 根据Liou