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避免分类讨论的几种策略 徐学军 一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。 一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围 例1 解关于x的不等式。 解：因为x≥3，所以且。 所以原不等式化为 。 即 所以。解得x7。 所以原不等式的解集为。 例2 已知实数x满足不等式。求x的取值范围。 解：因为 所以x4或x－1。 又因为 所以x4，此时 所以原不等式可化为 解得 所以， 所以原不等式的解集为 例3 已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，，求cosA的值。 解：因为， 所以。 又因为角A、B、C成等差数列，所以。 这样是不可能的，因此。 所以。 所以。 二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理 例4 设函数。若0ab，且。证明：ab1。 解：因为，即 所以 所以 即 因为，所以 所以，所以。 所以ab1。 例5 圆的圆心C与抛物线的焦点F分居直线的两侧，求a的取值范围。 解：求得C和F的坐标分别为C（－a，1）、F（0，） 因为圆心C与焦点F分居直线的两侧。 所以C和F的坐标代入直线方程的左侧应为异号。 即 化简得 所以。 三、一些对称性问题，由于参数的地位均等，可以只考虑一种情形 例6 （18届全苏中学生数学竞赛题）证明对任意实数a和任意正整数x、y有。 证法1：因为， 所以原不等式等价于。又因为a为任意实数 所以不妨设 所以，又因为 所以。 所以原不等式成立。 证法2：左右。 例7 已知锐角α、β、γ满足等式。求证：。 证明：不妨设，则。 又因为 所以 当且仅当时，等号成立。 所以。 四、跳出常规思维，转变考虑问题的角度 例8 已知m、x为实数，且当时，不等式恒成立，求x的范围？ 解：令 由题意可知，当时，不等式恒成立。 因为为关于m的一次函数。 所以只要 即 解得。 说明：若用分类的方法，需对的符号进行讨论。 例9 从6名短跑运动员中选出4个，参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人不跑第一棒，则不同的参赛方案有几种？ 解：第一棒由甲、乙以外的4人中选一人参加，共有种方法；另三棒由剩下的5人中选出三人参加，共有种方法。 所以满足条件的参赛方案共有种。 说明：若对甲、乙是否入选进行讨论，则需分4种情况。 例10 已知关于x方程，问a为何值时，方程至少有一个整数根？ 解：若，则原方程为，矛盾！ 所以时，故原方程可化为因为a∈N， 所以 解得 又因为x∈Z，且当x=0时，。 所以x=－3或x=1，此时a=1。 所以当a=1时，方程有两个整数根－3和1。 说明：如果用求根公式解出x，再由a的值来讨论根的情况，运算就较为复杂。 快乐学习，尽在中小学教育网 第5页（共5页） 正保远程教育 地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层 24小时客服热线：010