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2-4 程序编制中的数学处理.pptVIP

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2-4 程序编制中的数学处理

一、非圆曲线的节点计算 (一)等间距直线逼近法 最大逼近误差校验方法 续 (二)等弦长逼近法 续 (三)等误差直线逼近法 点b坐标值的求法 (四)圆弧逼近法 二、列表曲线的插值与拟合 二、列表曲线的插值与拟合续 三、列表曲线的插值与拟合续 * §2—4编程中的数学处理 两个概念: ①基点:轮廓上相邻两元素间的交点或切点。如直线与直 线的交点、直线与圆弧的交点或切点等。 ②节点:两逼近线段的交点。 数控加工编程的数学处理,就是计算零件加工轨迹的 数据,即计算零件轮廓的基点和节点坐标,或刀具中 心轨迹的基点和节点坐标。 编程中数学处理的三个问题: ①基点计算; ②节点计算--曲线逼近 ③曲线拟合 任务:用若干段直线段或若干段圆弧段逼近理论曲线,找出直线或圆弧与理论曲线的交点。 总体原则是: ①保成精度; ②计算简单; ③程序段少。 逼近方法有四: ①等间距直线逼近法; ②等弦长直线逼近法; ③等误差直线逼近法; ④圆弧逼近法 已知曲线方程 将X坐标按等间距ΔX分开, 得出各个节点的X坐标值Xi , 代如上式,得出各个节点的Y 坐标值Yi ,Xi,Yi就是各个 节点的坐标。以次来编制直 线插补程序。 思路: 现在的问题是 : ΔX取多大合适? ΔX取决于曲线的曲率和允许误差δ允 一般是先凭经验初取ΔX,试算并校验。 逼近精度要求: 各段的逼近误差都必须小于等于允许误差ΔX 逼近直线A1A2的方程Ax+By+C=0 由A1A2两点坐标列出方程: B1 B2 距直线A1A2等距离的直线B1B2的方程为 与 联立求解。 如果无解,则A1A2与曲线没有交点,表明插补误差小于允许误差; 如果只有一个解,则与曲线相切,表明插补误差等于允许误差; 如果有两个或两个以上的解,则与曲线相割,表明插补误差大于允许误差;这是应缩小ΔX,重新计算节点和验算逼近误差。直到最大逼近误差小于或等于允许误差为止。 不必每段曲线都验算,只需验算逼近误差最大的段,何处逼近误差大,从图上可直观看出来 这种方法虽然简单,但因ΔX为定值,当曲线变化较大时,程序段较多。 这种方法,所有逼近线段的长度均相等,这样,只要使曲线曲率最大处不超差,则其余各段均不会超差,所以,首先找出曲线上的最小曲率半径ρmin,何处曲率半径最小, 可用直观法判断,也可以用数学法判断。 已知零件轮廓曲线的方程为 则曲线的曲率半径为 取 则 (1) (2) 由(2)式求出X,代入(1)式,便可得到最小曲率半径 2.确定允许的步长, 3.以曲线起点a为圆心,以步长l 为半径 画弧,交曲线与b点,解出b点坐标; 4.顺序以b、c为圆心,重复上步,即可求出其余各节点的坐标值; 等步长法对于曲率变化较大的曲线,求得的节点数仍然过多,它适用于曲率变化不大的曲线。 这种方法使每个直线段的逼近误差都相等,且 所以,它比前两种方法都合理,程序段少,占内存少,但计算复杂。大型、复杂的零件轮廓宜采用这种方法。 这种方法步骤如下: 1。以起点a为圆心,以允许误差为半径画允差圆; 2。作允差圆与轮廓曲线的公切线T; 3。过a作公切线T的平行线,交轮廓曲线与b点,求出b点的坐标; 4。再以b为新的起点,重复上述步骤,便可依次求出各个节点的坐标。 以a点为圆心的允差圆方程为 (1) 公切线T的方程为 (2) k为公切线的斜率,其值为 解以下联立方程 曲线方程 允差圆方程 便可求得,P、T两个切点的坐标值 再由斜率方程(3)求出k值。 则过a点且平行于T的直线方程为: (3) (4) 求方程(4)与轮廓曲线的交点就是节点b。 对于具备圆弧插补功能数控机床,可以用圆弧段逼近工件的轮廓曲线。此时,需求出每段圆弧的起点、终点、圆心坐标以及圆弧半径。 所谓列表曲线,是指已给出曲线上的某些坐标点,但没有给出方程(数学表达式),这时就要先求出这些坐标点的拟合曲线,然后再去逼近,即先拟合,后逼近。 数控编程中,常用样条曲线拟合法。 最初在造船业中,用一根木料做成的弹性长条,放样员用它通过型值点画出光滑曲线,放样用的弹性长条简称“样条”。弹性长条在力学上叫做弹性梁, “样条”一词在数学上叫“样条函数”,也简称 “样条”,是指拟合出的曲线方程,所拟合出的曲线都通过给定的列表点,而且具有连续的曲率 。 1、三次样条曲线拟合 如下图所示,使梁通过给定的列表点,并产生弹性弯曲,显然,用这种方法形成的曲线不仅通过给定的列表点,而且光滑,连续。三次样条函数的一阶、二阶导数都连续,整体光滑,应用较广。 用这种方法处理小挠度时,拟合精度高。但处理大挠度时,效果较差。 2、圆弧样条拟合 如右图所示,给定一系列的列表点P1、 P2 、P3、 P4 过每一点作一圆弧并使相邻两圆弧在相邻两点连线的中垂线上相切。编程时,就按这些圆的参数 P3 P1 P2 P4 T1 T2

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