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The key to Problem 2 边数 非常容易 面积 The key to Problem 2(continued) 引入矩阵 */13 Koch分形曲线与面积计算 分形图形的基本特征 正交矩阵与正交变换 Koch分形曲线 Koch分形雪花面积计算 ? ? ? ? 分形(Fractal)图形最基本特征是自相似性，即某一对象的局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有相似性。 在自相似的图形中，局部只是整体的缩影，而整体则是局部的放大。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。 分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967年发表于美国《科学》杂志一篇论文 “英国海岸线有多长” 。 Mandelbrot 1924- 2010 算法描述:将一条直线段三等分,删除中间三分之一部分,用一等边三角形的腰代替,形成四条线段的折线.每一线段重复以上操作,迭代产生曲线 Kn Koch分形曲线 Koch分形曲线 Koch岛 A是正交矩阵. 功能:对向量做旋转变换. P1 P2 P1 P2 Q1 Q2 Q3 (1) Q1 ← P1 + (P2－P1)/3; Q3 ← P1 + 2(P2－P1)/3; (2) Q2 ← Q1 + (Q3－Q1)×AT; (3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3． 基本算法 function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image MATLAB代码 参考资料: 分形论——奇异性探索,作者:林鸿溢 课外作业:完成面积计算的数学实验报告(电子文档) Kn的边数: Kn的周长: Kn的维数: 相邻两次的边数比和边长比 格林公式导出的面积计算方法 取 区域 D 的面积公式 设 D 是平面多边形, 顶点为: 第 k 条边: 多边形面积计算公式: ? MATLAB函数: polyarea(x,y) 一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花 2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为 3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积 面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选) 二、竞赛题的实验设计 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 ) 设P1为边长等于1的等边三角形，P2是由P1之各边3等分点连接成的六边形，······，Pn+1是由Pn之各边3等分点连成的多边形。试证Pn的边数为： 求 Pn 所围面积