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计算机学院 / GDUT 第7章 曲线与曲面 概述 7.1 曲线曲面基础 7.2 三次样条曲线与曲面 7.3 Bézier曲线和曲面 7.4 B样条曲线和曲面 7.5 NURBS曲线和曲面 7.6 OpenGL生成曲线和曲面 Bezier曲线或曲面的不足 在上式中，ui是节点值， T=[u0, u1,… , un, … , un+k+1]构成了k 次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减序列。当节点沿参数轴均匀分布时，即ui+1-ui=常数，表示的是均匀B样条函数。当节点沿参数轴非均匀分布时，表示的是非均匀B样条函数。 定义的意义 B样条基函数 7.4.1 B样条基函数的性质 局部支撑性 权性 均匀二次（三阶）B样条曲线 取n=3，k=2，则n+k+2=7，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6) ? 曲线的起点和终点值： 开放均匀的B-样条曲线 除了在两端的节点值重复k次以外，其余 节点间距均匀： {0,0,1,2,3,3}, k=2, n=2 非均匀B-样条曲线 例如 {0,1,2,3,3,4}, {0,2,3,3,6,6} 均匀B-样条基函数的平移 两节点值的距离为常数。给定n和k的值，所有基函数 具有相同形状，具有平移的关系 7-22式的含义： - 曲线段起点位于以didi+1和di+1di+2为邻边的平行四边形的1/6处。 - 其切矢与didi+2平行，模为长度的1/2 - 起点二阶导矢是以di+1di和di+1di+2为邻边的平行四边形的对角线。 使用重点绘制通过起点和终点的三次B样条曲线例子： 设在平面上给定的11个控制点坐标分别为:（100,300）,（100,300）,（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）, （420,300）,（420,300）,（420,300）。 画出其曲线。 * * Bezier曲线有很多优点，例如Bezier曲线具有凸包性，容易改变形状（便于控制），容易做到C1、G1连续（外观性和直观性好），但有2个重要的缺点： 1.特征多边形的顶点数确定了Bezier曲线的阶次，即：n个顶点的特征多边形必然生成n-1次Bezier曲线（n越大，Bezier特征多边形对Bezier曲线的形状控制越弱），不够灵活。 2. Bezier曲线不具备局部修改性。Bi,n(t)在（0，1）开区间内都不为0，改变某一个特征点对整条曲线形状都有影响。 72~74年提出了B样条曲线，对Bezier曲线进行改进，用B样条基函数替代了Bernstein基函数。B样条曲线克服了Bezier曲线的不足，同时保留了Bezier曲线的直观性和凸包性，并且可以做到： ①可以进行局部修改， ②曲线更逼近特征多边形， ③曲线的阶次与顶点数无关。 因而更加灵活方便。从而成了工程设计中更常用的一种拟合曲线。 B样条曲线是Schocenberg 于1946年提出的，1972年deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法。作为CAGD的一种形状描述的数学方法是Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bézier曲线的基础上给出的。 B样条曲线方程为： 其中di，i＝0，1，….，n为控制顶点。 7.4 B样条曲线和曲面 K次规范B样条基函数 Ni,K(u)（i＝0，1，…，n）定义如下： ui（i=0，1，…，n）是对应于给定控制点的节点参数。 空间 n+1个控制点 di 构造（n+1-k）段 k 次 B 样条曲线段，且每一曲线段 Pi(u) 由Pi-1、Pi、Pi-1+k 等 k+1个控制点确定，与其它控制点无关。 n+1 个控制点对应 n+1 个 基函数，节点矢量所含节点数由控制点和基函数次数决定，等于(n+k+2) 。 每一基函数由对应的 k+2 个节点决定，有k+1个非0节点区间。 P0 P7 例子： 给定控制顶点 ，定义一条三次B样条曲线。 ， ，各种关系如下确定： 这说明 节点矢量 2.曲线定义域 3.当定义域 内不含重节点时，曲线段数=n – k +1 =6; 4.移动 时将至多影响到定义在 区间上那些曲线段的形状 5.在 上的三次B样条基及计算定义在 上那段三次B样条曲线将涉及 共8个节点。 该表达式意味着： 1)是一阶跃函数，在区间外均为零； 2)对于i0，是两个(k-1)次基函数的线性组合； 3)计算一系列的基函数，需要指定节点矢量和次数； 4)是一分段多项式；我们仅仅对其所在区间感兴趣； 5)ui,ui+1称为第i个节点区段；其长度可以为零； 例：令k=2，计算0，1，2次的均匀B-样条基函数。 均匀二次B样条曲线起点和终点处