线性代数实践(教师班第10讲).ppt

第十章 后续课矩阵建模举例 10.1 多项式插值问题 例：试求三次插值多项式 ，使曲线通过以下4个点: (0,3),(1,0),(2,-1),(3,6) 。 解：这4个点的坐标应满足三次多项式函数，代入后有： 程序： A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27]; B=[3;0;-1;6];a=A\B 得到a=[3,-2,-2,1]T,即 例10.1的图形 ％ 绘图程序 ezplot(3-2*t-2*t^2+t^3) hold on,grid on plot([0:3],[3,0,-1,6],x) line([1.5,1.5],[0,6] ) axis([-1,4,-2,8]) ％求t=1.5处的插值函数值 t1=1.5; p1=3-2*t1-2*t1^2+t1^3 plot(t1,p1,o) 高阶的多项式插值 在一般情况下，当给出函数在n+1个点上的值时，就可以用n次多项式 对它进行插值。如果给出的点数（即方程数）大于n+1，方程组成为超定的，因而没有一个能满足方程组的解，得出的曲线将是以最小二乘意义下的误差靠近各点，于是插值就变为拟合。 插值也不一定是自变量的多项式，比如圆锥曲线方程 虽然它有6个系数，若用a除以此方程两端，得到的将是有5个待定系数的方程。如果给出x-y平面上的5个点，就可以列出5个线性方程来确定这5个系数。 10.2 坐标测量仪测定的拟合 比如为了测量一个圆锥形截面的半径，可在x-y平面内测量其圆周上n个点的坐标(xi,yi) (i=1,…n)，然后拟合出此截面的方程。 对于每一组数据(xi,yi)，代入圆锥曲线方程，移项可得： n个点就有n个方程。其结构相同，只是数据不同。可以把数据写成列向量，然后用元素群运算一次列出所有的n个方程。 例10.2 圆锥截面方程的拟合 设测量了圆周上7个点，其x，y坐标如下： x = -3.000 -2.000 -1.000 0 1.000 2.000 3.000 y= 3.03 3.90 4.35 4.50 4.40 4.02 3.26 试求出此圆锥截面的方程，并求其最大最小直径。 列出程序如下： x=[-3:3]; % 把x,y赋值为列向量 y=[3.03,3.90,4.35,4.50,4.40,4.02,3.26]; A=[x.*y, y.*y, x, y, ones(size(x))]; B=-x.^2; % 列出系数矩阵A和B c=inv(A*A)*A*B, % 解超定方程得出c 程序运行结果 将程序运行生成的参数写出，应为： 即截面的方程为： 例10.2 曲线 ezplot(x^2+0.005*x*y+0.9214*y^2-0.2228*x-0.4050*y-16.8537) ％画圆锥曲线 hold on, plot(x,y,x) ％ 画测量点 grid on, axis equal % x,y两方向取同样比例尺 拟合的图形和给定的测量点， 如图所示。从工程角度看， 这样的测量点布局对拟合 精度不大有利。 估计圆直径的方法 设圆周方程为： c1,c2为圆心的坐标，r为半径。整理上述方程，得到 用n个测量点坐标(xi,yi)代入，得到 这是关于三个未知数的n个线性方程，所以是一个超定问题。解出就可得知这个最小二乘圆的圆心坐标和半径r的值： 例10.2a 曲线程序及运行结果 程序ag1002a x=[-3:3]; % 把x,y赋值为列向量 y=[3.03,3.90,4.35,4.50,4.40,4.02,3.26]; A=[2*x, 2*y, ones(size(x))] % 求出系数矩阵A,B B=x.^2+y.^2 c=inv(A*A)*A*B, % 求超定方程的解，得出c r=sqrt(c(3)+c(1)^2+c(2)^2) % 由c求出r 程序运行的最后结果为： c = 0.1018 工件圆心的x坐标 0.4996 工件圆心的y坐标 15.7533 r = 4.0017 工件的半径r 按圆形估计的最小二乘图形 以上就是本题要解的超定线性方程组 快速绘制此圆形的语句为： ezplot((x-0.1018)^2+(y-0.4996)^2-4.0017^2=0) 10.3 天体轨道测量拟合 在适当的极坐标中，天体的位置应满足下列方程： 其中β为常数而ε是轨道的偏心率，对于椭圆，对于抛物线，而对于双曲线。对一个新发现的天体的观测得到了表中的数据