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描述函数的物理意义 线性系统的频率特性 是频率ω的函数，而与输入正弦信号幅值无关 在无储能元件的情况下，非线性环节的描述函数是输入正弦信号幅值A的函数N(A)，描述函数可以认为是输入幅值A的复变增益放大器 1. 非线性系统描述函数法分析的应用条件 1）系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式 四. 非线性系统稳定性分析的描述函数法 3）系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性，可将高次谐波分量大大削弱，闭环通道内近似只有一次谐波通过，从而保证描述函数法的结果比较准确 2）非线性环节的输入输出特性f(x)应是x的奇函数，即 ,或者y(t)为奇对称函数，以保证非线性环节的正弦响应不含有直流分量，即 非线性系统整理为如下的典型结构，用描述函数N(A)近似表示非线性环节 若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统 2 .变增益线性系统的稳定性分析 变增益系统如图 K 为比例环节增益 设G(s)的极点均位于s左半平面，即P=0 闭环系统特征方程的频率特性为 或写为 （1）若K=1，为常值，则简化为普通的Nyquist稳定性判断问题，只要 则系统稳定，即 曲线不包围(-1,j0)点 （2）若K为其它常值，则为根据 曲线 围绕情况稳定性判断问题 对(-1/K,j0)点 （3）若K是变化的，如 则 为实轴上的一段直线 若 不包围这段曲线，则系统稳定，否则系统不稳定 3.应用描述函数分析非线性系统的稳定性 用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图 系统特征方程为 即 称为非线性环节的负倒描述函数 曲线和 曲线 在复平面上分别绘制 图A (1)两条曲线不相交 两条曲线不相交，表明特征方程 无实数ω解 则闭环系统不稳定，振幅A会增大 曲线包围 曲线 如果 图B 所以，闭环系统稳定，振幅A会减小 曲线不包围 曲线 如果 非线性系统稳定判据 若 曲线不包围 曲线,则系统稳定 若 曲线包围 曲线,则系统不稳定 【例1】非线性系统如图，分析系统的稳定性 解：对于线性环节来说 查表（P.414）得非线性环节描述函数为 所以， 曲线包围 曲线 所以，闭环系统不稳定 (2)两条曲线相交 若 曲线和 曲线相交，表明方程 有实数ω解，则系统存在无外力作用的周期运动。两曲线相交时 任意交点 实轴交点 由此可解得两曲线相交处的频率ω和幅值A。 系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡。 使下式成立 或 对应着一个正弦周期运动。 若系统扰动后，上述周期运动经过一段时间，振幅仍能恢复 ，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。 便有 没有外界周期变化信号的作用 系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡 稳定的周期运动：外界小扰动作用使系统偏离周期运动，当扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动。（自激振荡） 没有外界周期变化信号的作用 图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 图A 假设系统受小的扰动，使 所以，振幅将增大到A0 因为 曲线包围 曲线，系统不稳定 若 系统稳定，所以振幅衰减至A0 所以N0点的周期运动是稳定的 图B 图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 所以，振幅将衰减，最终 因为系统稳定 若 系统不稳定 所以N0点的周期运动是不稳定的 所以，振幅将增大，最终 图C：两个交点 对于N20点，若 系统不稳定 图C 若 系统稳定 所以N20对应的周期运动是稳定的 对于N10点，若 系统稳定 图C 若 系统不稳定 所以N10对应的周期运动是不稳定的 图D：两个交点 对于N10点，若 系统不稳定 同理分析可知，A20对应的周期运动是不稳定的 若 系统稳定 所以N10对应的周期运动是稳定的 图D 综合以上分析，可认为复平面上 包围的区域为不稳定区域， 不包围的区域为稳定区域 周期运动稳定性判据： 在 曲线和 曲线的交点处，若 曲线沿A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，该交点对应的周期运动是稳定的，反之，则是不稳定的 图A:稳定自振 稳定区域 图B