大学线性代数——第四章-第三节.ppt

因此 与 线性无关， 又R3是三维向 量空间， 因此 与 均为R3的基. (2) 由 可知 (3) 由定理1，则 在基 下的坐标为 四、小结 一 向量空间的概念 1.向量空间 对加法及数乘两种运算封闭 2.子空间 二 向量空间的基和维数 若把向量空间V看作向量组，那末V的基就是向量组 V的最大无关组, V的维数就是向量组V的秩. 基变换公式 坐标变换公式 或 三 基变换和坐标变换公式 思考题 思考题解答 第三节 向量空间 一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 第四章 向量空间 第三节 向量空间 一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换和坐标变换 说明 一、向量空间的概念 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 例2 判别以下集合是否为向量空间. 解 例3 判别以下集合是否为向量空间. 解 试判断集合是否为向量空间. 解： V是向量空间。 因为在V中任取 这个向量空间称为由向量a,b生成的向量空间。 一般地，由向量组a1,…,am生成的向量空间为 一般地，由向量组a1,…,am生成的向量空间为 定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间　　　， 就说 是 的子空间． 实例 设 是由 维向量所组成的向量空间， 那末，向量组 就称为向量　的一个基， 其中的向量 二、向量空间的基与维数 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 有数 使得 称为基向量， 称为向量 在这个基下的坐标. 称基向量的个数为向 量空间 的维数. 用dimV=r记. 并称V为r维向量空间. (2) V中任一向量 都可由 线性表示，即 (1) 线性无关； （3）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （1）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. （2）n维向量空间V中任意n个线性无关的向量都 V的基. （4）向量空间Rn的维数是n. 向量空间 的每一向量都可由 线性表示， 的最大无关组是V的一个 基，向量组 的秩就是V的维数. 对向量空间V，只要找到V的一个基 则 验证a1,a2,a3是R3的一组基，且把b1,b2用这个基线性 表示。 分析： 要证a1,a2,a3是R3的一个基，只要证明a1,a2,a3 线性无关即可。 即解矩阵方程AX=B。 例7 将线性无关的向量组 扩充成R4的一组基. 解： 作 易知， 要将 扩充成R4的一 一组基，实际上要找 使得 线性 无关，即 可取 因此可取 将线性无关n维向量组 扩充成Rn的一组基 找出 中的非零r阶子式D，构造n 阶矩阵B，即在D所在的行后面添零，在其余的位置 添e1,???,en-r . 向量空间的基是不唯一的，但其维数是唯一确 定的，同一向量在不同基下的坐标一般是不同的. 那么，向量空间的两组基之间有什么关系呢？同一 向量在不同基下的坐标又有什么关系呢？ 三、基变换与坐标变换 称此公式为基变换公式． 设 与 都是向量空间V的基， 则有 由 可得 称P为由基 其中 到 基 的过渡矩阵. 过渡矩阵 是可逆的． 若两个基满足关系式 定理1 设n维向量空间V中元素 在基 与基 下的坐标分别为 则有坐标变换公式 或 例8 已知两个三维向量组 与 (1) 试证 以及 均为R3的基. (2) 求由 基 到 的过渡矩阵P. (3) 若 在基 下的坐标是 求 在基 下的坐标. 解：(1) 因为