3Laplace变换.ppt

变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初 等数学中： 　　　又如，Fourier变换将时间域的实函数变换成频率域的频谱，即，正弦谐波的线性组合。 对线性时不变系统而言，我们要寻求能简化微分方程求解过程的变换。一个好的变换至少要有如下2个特征： 1、它的基本函数具有很大的覆盖面， 2、变换本身具有线性叠加性。 Fourier变换就具有上述特性， 1、它的基本函数为谐波函数，或纯虚指数函数，它们的线性组合可以表示大部分常用的函数， 　　 2、基本函数线性组合的输入导致的响应是基本函数响应的线性组合，只是组合系数发生变化。 遗憾的是， Fourier变换的收敛条件比较严格。 历史从来都是选择性记忆的，优胜劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才会流传后世。 Laplace变换就是这样的数学工具，它对Fourier变换加以扩展，以复指数函数为基本函数，将时间域的实函数变换成复频率域的频谱函数，将微分算子变成代数算子，非常方便。 　 复变量和复变函数 (1) 复变量： (2) 复变函数： 〉F(s)是函数，其自变量为s；s为复变量 〉F(s)函数值也是复的 〉除此之外，在一般情况下，F(s)与实函数无异 1、定义与基本变换 (3)复指数函数与欧拉定理： 欧拉定理证明： 有： 所以： 而： 改写 所以 由上式可以看出，Laplace变换是Fourier变换的推广，一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等不满足Fourier变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数衰减因子后，就可以完成变换。 当s为纯虚数时， 函数的Laplace变换就是它的Fourier变换； 当s为复数时，函数的Laplace变换就是它与实部指数函数乘积的Fourier变换。 基本时间函数及其Laplace变换 (1) 指数函数 (2) 阶跃函数 (3) 斜坡函数 (4) 正弦函数 (5) 脉冲函数 例1、 指数函数 1、定义与基本变换 例2 阶跃函数 1、定义与基本变换 例3 斜坡函数 1、定义与基本变换 例3 斜坡函数 首先注意到： 于是： 1、定义与基本变换 例4、 正弦、余弦函数 显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有： 1、定义与基本变换 例5.1 脉动函数 例5 脉冲函数 ２、定理与技巧 线性叠加原理是显然的。 时域位移-------复域指数乘积 ２、定理与技巧 2.2 与 相乘 例6 复域位移-------时域指数乘积 ２、定理与技巧 2.3 时间比例尺定理 ２、定理与技巧 例7：已知 于是： ２、定理与技巧 几个重要的拉氏变换对 ２、定理与技巧 2.4 微分定理 式中 f(0) 是 f(t)在t=0处的初始值。 同样，对于f(t)的n阶导数，则有 证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到n阶导函数的拉氏变换 ２、定理与技巧 2.5 终值定理 假定 f(t) 和 df(t)/dt 可以进行拉氏变换， 存在，并且F(s)在虚轴上无极点，在原点 处无多重极点，即，sF(s)在包括虚轴的右半s平 面内解析，则有 证：由微分定理有： 等式两边对s趋向于0取极限 ２、定理与技巧 2.6 初值定理 假定 f(t) 和 df(t)/dt 可以进行拉氏变换， 存在，则有 2.7 积分定理 式中 在t=0处的值。 证：令： 即： 同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 函数除以 。 ２、定理与技巧 2.8 卷积定理（了解） 将 记为 ，称 其为卷积，则有 证明： 3、拉氏反变换 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运