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* 量子力学初步 本章内容 Contents chapter 23 波函数及其统计解释 wave function and its statistical explanation 薛定谔方程 Schrodinger equation 隧道效应 tunnel effect 不确定关系 uncertainty relation 第一节 wave function and its statistical explanation 2 3 - 1 引言 量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。 本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。 波函数 回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设 速度为 质量为 的自由粒子 一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性 另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性 波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。 下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。 自由粒子波函数 在量子力学中用复数表达式： 应用欧拉公式 取实部 应用德布罗意公式 即 即 即 的自由粒子的波函数为 沿 X方向匀速直线运动 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数 一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程 沿 方向匀速直线运动 的自由粒子的波函数为 续上 在量子力学中用复数表达式： 应用欧拉公式 取实部 应用德布罗意公式 即 即 即 沿 方向匀速直线运动 的自由粒子的波函数为 的自由粒子的波函数为 沿 X方向匀速直线运动 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数 一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程 自由粒子的 波函数 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是 量子力学的一个基本假设。 概率密度 设描述粒子运动状态的波函数为 ，则 空间某处波的强度与在该处 发现粒子的概率成正比； 在该处单位体积内发现粒子 的概率（概率密度） 与 的模的平方成正比。 是 的共轭复数 德布罗意波又称 概率波 波函数又称 概率幅 取比例系数为1，即 1926 年提出了对 波函数的统计解释 波函数归一化 因概率密度 故在 矢端的体积元 内 发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。 此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件： 概率波与经典波 德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波） 德布罗意波 经 典 波 是振动状态的传播 不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度 波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。 能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布状态。 波函数存在归一化问题。 波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。 波函数标准条件 波函数的三个标准条件： 连续 因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续； 单值 因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的； 有限 因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的； 以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件 符合 不符合 不符合 不符合 算例 某粒子的波函数为 归一化波函数 概率密度 概率密度最大的位置 令 求 积分得： 得 到 归 一 化 波 函 数 ： 概率密度 得 令 求极大值的 x 坐标 解得 另外两个解 处题设 处 最大 随堂小议 结束选择 请在放映状态下点击你认为是对的答案 下列波函数中合理的是 （1