有限元1-第1,2章.pdf

第1 章 字母标记法及张量的基本知识 为什么要学习此内容？ 对于一些稍微深一点的有限元相关理论，如材料的本构关系理论、各种 非线性有限元理论、瞬态有限元理论等等，都会大量出现用字母标记法和 张量来表达的力学公式。其目的是为了：将其中的一些复杂的数学公式， 用一种更简洁的方式来表达，便于将大家的注意力从烦琐的数学公式推导 中解脱出来，而集中在所研究的问题本身。因此，要掌握好结构有限元分 析的基本理论，我们有必要学习一点“字母标记法及张量的基本知识”。 1.1 字母标记法及求和约定 1. 什么是字母标记法？（用一种更简洁的方式来表达一些常用的物理 量，如点的坐标、位移、应力等） 通常的表示法：1）一点的坐标 （x 、y 、z ）； 2 ）一点的位移 （u、v 、w ）； 3 ）一点的应力 （ ， ， ， ， ， ， ， ， ) x y z xy xz yx yz zx zy ） 特点：一个物理量是用多个分量的集来表示的。 字母标记法的特点：一个物理量的所有分量都用同一个字母表示，并且 用标号(注标)对各分量加以区分。 例如：一点的坐标不再用字母 （x 、y 、z ）的集来表示，而用一个字母x 来表示，并用下标1、2 、3 加以区别。 1）一点的坐标：x 、x 、x ，通常写为x ( i=1 ，2 ，3 ) ； 1 2 3 i 在这里还有一点值得注意：因为在结构有限元里，我们所论述的物理量 1 一般都是三维的，因此，下标的取值通常都是1、2 、3 。 2 ）一点的位移：u 、u 、u ，表示为u ( i=1 ，2 ，3 )； 1 2 3 i 3 ）某方向的方向余弦：l 、l 、l ，表示为l (j =1 ，2 ，3 )； 1 2 3 i 4 ）一点的应力分量： ( i，j =1 ，2 ，3 ) 。 ij f f f f f f 5 ）微分运算： , , 分别写成 , , ，并用f ，i 表示， x y z x x x 1 2 3 这里逗号表示对逗号后的字母标号所代表的变量求导。 问题1：为什么要引入字母标记法？ 问题2：字母标记法的核心思想是什么？ 2. 求和约定 在同一项中，重复出现两次的字母标号称为求和标号，它表示将该标 号依次取为1，2 ，3 时所得各项取和，这就是求和约定。例如： a b =a b +a b +a b ； i i 1 1 2 2 3 3 a =a +a +a ； ii 11 22 33 a b =a b +a b +a b ，等等 ij j i1 1 i2 2 i3 3 因为求和标号不再是区分分量的标号，而只是一种约定求和的标志，所 以不论选用哪一个字母都不会改变其含意，即求和标号可以任意变换字母 都不会改变其含意，例如