有限元课件2-单元位移模式与形函数n.ppt

课程名称：计算结构力学及有限元 第一篇有限元基础 参考教材：曾攀编《有限元基础教程》 高等教育出版社出版 参考教材：徐芝纶编《弹性力学简明教程》 （第三版）高等教育出版社出版 任课教师：张晓志 第1章 绪 论 1.1 有限元方法概念及相关问题 1.2 弹性平面应力或应变问题 1.1 有限元方法概念及相关问题 1. 有限元方法概念 2. 有限元方法的分析步骤 3. 有限元方法的优点与应用 4. 有限元基础课程的主要教学内容 1.有限元方法概念 · 结构力学中的位移法，是杆系结构有限单元法的基础 · 计算结构力学中的矩阵位移法，就是杆系结构有限单元法 · 弹性力学有限单元法＝离散连续介质（或广义离散结构） 的矩阵位移法 · 有限元法，简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学 问题。即首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结 构力学方法进行求解的一种数值方法。 · 仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元法 位移法，力法，混合法 3.有限元法主要优点与应用 （1）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析） （2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；动与静；线性与非线性） （3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。 （4）无需建立和求解偏微分方程。 有限单元法与有限差分法的对比？ 4. 有限元基础课程的主要教学内容 A、有限元分析方法 B、有限元程序设计 C、有限元程序应用 1.2 弹性平面问题 1. 弹性力学基本假定 2. 两种弹性力学平面问题 3. 弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示 4. 边界（或支撑）条件 5. 弹性平面问题的经典解法 1. 弹性力学基本假定 ● 连续性 ● 完全弹性 ● 均匀性 ● 各向同性 以上四条合称为理想弹性体假定 ● 小变形假定（线性叠加原理适用） 2. 两类弹性力学平面问题 ● 平面应力问题 ● 平面应变问题 ● 平面应力问题有限元分析的目的 A、获得单元位移场 B、获得单元应变场 C、获得单元应力场 两种平面问题都是空间问题的近似 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。 平面应力问题 厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有： 另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有： 于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即 ，所以称为平面应力问题。 平面应力问题 三维应力问题 平面应力问题的应变 对应的剪应变： 由物理方程中的第三式可见： 不独立，在分析问题时不必考虑。于是应变矩阵简化为： 平面应力问题的物理方程 物理方程简化为： 转化成应力分量用应变分量表示的形式： 平面应力问题矩阵物理方程 矩阵方程表示： 它仍然可以简写为： 弹性矩阵[D] 为： 平面应力问题的几何方程 只有 三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程 简化为： 平面应力问题 弹性体的虚功方程 简化为 平面应变问题 一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。 由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。 平面应变问题的几何方程 既然w = 0，且u及v又只是x和y的函数，由空间问题几何方程 可得 。于是矩阵几何方程简化为方程