有限元课件3-单元劲度矩阵n.ppt

计算单元位移函数举例 计算单元位移函数举例 计算单元位移函数举例 平面应力问题的物理方程 物理方程简化为： 转化成应力分量用应变分量表示的形式： 2) 结点力与结点位移（实与虚） 结点力虚功 单元应力虚功 虚功方程的应用 考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为： 任意虚设位移，结点位移与内部应变为 2) 结点力与结点位移（实与虚） 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为 微小矩形 的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为 根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出： 代入虚功方程 接上式，将应力用结点位移表示出 有 令 则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称为单元劲度或刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 虚功方程的展开 由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且 因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。 4、单元劲度（刚度）矩阵及其性质 注意到 即可计算出平面应力三角形单元的刚度矩阵。写成分块形式，有 (6-24） 式(6-24)中子矩阵[krs]为2×2矩阵，且有 (6-25） 对于平面应变问题，须将上式中的E换为 ， 换为 ，于是有 其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式中的系数。 (6-26） 对于平面应变问题： 平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元（或坐标轴）的平行移动而改变。 由公式(6-25）、(6-26）知，[krs]矩阵和其中的br、cr 、 bs、cs （r、s=i、j、m）有关。 三角形单元刚度矩阵的特点 i j m x y o (1-17） i j m yj ym 平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元的放大或缩小而改变。(板书补充解释) 三角形单元刚度矩阵的特点 （1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示单元第j个自由度产生单位位移(?j=1)，其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力Fi。 主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。 单元刚度矩阵性质（ ） （2）[k]的每一行或每一列元素之和为零 F1 =0 F2 =0 F3=0 Fi=0 Fj =0 Fnj =0 r s t 1 1 以上式中第i行为例（板书补充说明） 当所有节点沿x向或y向 都产生单位位移时， 单元作平动运动，无应变，也无应力。则有： 即：[k]的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。 r s t x y 图1-6 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各列元素的总和也如此。 （3）[k]是对称矩阵 由[k]各元素的表达式，可知[k]具有对称性。 nj?nj 对于主对角线元素对称。对称表达式： kij = kji 单元刚度矩阵性质（ 对称性证明 ） 单元刚度矩阵性质（ 对称性证明 ） 单元刚度矩阵性质（ 对称性证明 ） 虚功概念，互等功定理 注意到 (6-24） 对称性得证 （4）单元刚度矩阵是奇异矩阵 即[k]的行列式为零（由行列式性质） 。 单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的“平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程(1-28）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。 单元面积: 例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵 求下图所示单元的刚度矩阵，设 -a -a 0 0 m a 0 a 0 j 0 a 0 a i ci(j,m) bi(j,m) Yi(j,m) Xi(j,m) 求下图所示单元的刚度矩阵，设 例：计算平面应