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第二节 优化设计的基本概念
为了便于学习最优化方法，本节将对与
优化方法密切有关的数学知识作一简要介绍
而有些数学知识将在讲解各种算法时，随之
介绍．
二次型与正定矩阵
一、二次型与实对称矩阵
二次型理论在最优化设计中应用十分
广泛．应用矩阵的乘法运算，二次型与实
对称矩阵紧密地联系在一起了，从而二次
型的基本问题又可转化成实对称矩阵问
题．
二次型理论问题起源于化二次曲线和
二次曲面的方程为标准形式的问题．推广
到n维空间中，二次超曲面的一般方程为
f (x ，x ，，x ) a x 2 a x x a x x
1 2 n 11 1 12 1 2 1n 1 n
2
a x x a x a x x
21 2 1 22 2 2n 2 n
2
a x x a x x a x
n1 n 1 n2 n 2 nn n
n n
a x x ，
ij i j
i 1 j 1
用矩阵表示为
x
n n 1
x
f (x ，x ，，x ) a x x [x ，x ，，x ]A 2
1 2 n ij i j 1 2 n
i 1 j 1
x
n
X T AX ，
其中，矩阵A 的元素aij aji (i j )正是二次型的
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