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第4章 杆单元和梁单元 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.1 杆件系统的有限元分析方法 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.2.2 平面梁单元的推导 4.3.1 空间梁单元的节点坐标 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.2空间梁单元的坐标变换 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.2 空间梁单元的坐标变换 4.3.3 空间梁单元的单元特性 4.3.3 空间梁单元的单元特性 例4-1 平面梁单元应用举例。设一方形截面的悬臂梁，截面每边长为5cm，长度为10m，在左端约束固定，在右端施以一个沿y轴负方向的集中力w=100N，求其挠度与转角。 图4-6 平面梁单元实例图 利用matlab和ansys两种方法求得的结果基本一致: 左端点沿y方向位移(挠曲)：0 左端点绕z轴的转角：0 中间点沿y方向位移(挠曲)：-0.05 中间点绕z轴的转角：-0.018 右端节点沿y方向位移(挠曲)：-0.16 右端节点绕z轴的转角：-0.024 对于具有两个节点的空间梁单元，设其节点坐标和相应的节点力如下 节点（1）： (4.47) 节点（2）： (4.48) 整体坐标系记为OXYZ，梁单元的局部坐标系记为oxyz，其中ox轴正方向由i端截面形心指向j端面形心，y轴和z轴是梁截面的两个相互垂直的形心主轴，见图4-7。坐标变换公式具有如下形式： (4.49) 图4-7 空间梁单元的坐标变换 由局部坐标向整体坐标的位移变换公式是 (4.50) 节点力的变换公式是 (4.51) 单元刚度矩阵变换公式是 (4.52) 在三维空间中，设x,y,z是局部坐标系，X，Y，Z是整体坐标系, 单元局部坐标系的三个坐标轴的方向余弦分别如下式： (4.53) 坐标变换矩阵的具体求算方法包括如下步骤。 (1) 局部坐标系x轴在整体坐标系中的方向余弦： (4.54) （2）局部坐标系y轴在整体坐标系中的方向余弦 现在讨论具有任意方向的空间梁单元。首先，由节点i、j 在整体坐标系下的坐标即可确定e1在整体坐标系中的三个方向余弦，即 (4.55) 其中 (4.56) 下面计算e2和e3。 在单元的主惯性平面oxy上任取一点k（但k点不能取在ox轴上），点在整体坐标系中的坐标记为（Xk，Yk,Zk）。 沿矢量 方向取矢量g， g在整体坐标系中的三个分量是 (4.57) (4.58) 因z轴垂直于oxy平面，而e1和g均在平面oxy上，故可取 (4.59) 　 e1和e3既已确定，只需按右手直角坐标系条件确定e2即可。因而可取 e2= e1+e3 (4.60) 由矢量叉乘法则： 最后由式(4.61）有： (4.61) 则 从而 (4.62) 再记 把式(4.60)代入上式，得在整