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一、 格林公式 内容小结 2. 设 * 目录 上页 下页 返回 结束 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 规定：域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 定理1 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 则 注： 求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。 2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 定理2 3) 若已知 d u = P dx + Q dy , 则对D内任一分段光滑曲 定理2 线 AB ,有 注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4). 它类似于微积分基本公式: 例4. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 原式 圆周 区域为D , 则 例5. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数及 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 例6. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 或 例7. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 内容小结 转内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 为全微分方程 提示: 作业 P214 5 (1) , (4) ； 第四节