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概率论与随机过程 理学院 杨娟 * 主要内容 概率论 基本概念，随机变量(一维、多维)，数字特征，极限定理 随机过程 概念，平稳过程，谱分析，马氏链 第一章 概率论的基本概念 1.1 随机事件及其运算 1.2　事件的概率及其性质 1.3 条件概率 1.4　事件的独立性 * 研究对象：随机现象 研究内容：概率论与随机过程是研究和揭示  随机现象统计规律性的一门数学学科。 在个别实验中呈不确定性，在大量重复实验中又有规律的现象。 1.1 随机事件及其运算 随机试验 定义一：所谓随机试验是指具有下面三个特点的试验： （1）可重复性； （2）全体试验结果的可知性——试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果； （3）一次试验结果的随机性 随机试验在本课中简称为试验，常用E表示。 1.1.1 随机试验、样本点、样本空间 例 ： E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一枚骰子，观察出现的点数。 E5：纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。 2. 随机事件、样本空间和样本点 定义二 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件。一般用大写字母A,B,C等表示。 例 ：1. “掷得奇数点”，“掷得点数6”，“掷得点数不超过2”等都是随机事件，将它们依次记为B,C,D。  2.在“测试灯泡寿命”这一试验中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件，我们可用A表示此事件。 随机事件分为两类： （1）基本的结果：即最简单的结果，可直 接观察到。（2）复合的结果：由基本的结果组合而成。 定义三 在试验中,可直接观察到的结果称为基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，简称事件。 特别（1）不可能事件：在试验中不可能出现的事件，记为Ф。如掷色子“出现6”的事件。 （2）必然事件：在试验中必然出现的事件，如掷色子“出现?6”的事件，记为Ω。 定义四 随机试验E的所有基本事件组成的集合称为E的样本空间，记为S,或Ω。 注释： 1.样本空间的元素，称为样本点。 样本点用e或?表示，即Ω={?}。因此一个随机事件就是样本空间的一个子集。而且在一次实验中，当且仅当一个随机事件中的某一样本点出现时，称这一事件发生了。样本空间的元素是由试验的内容所决定的。 2.讨论一个样本空间中的样本点的数目，有三种可能：有限个，可数无穷个或不可数无穷个。 3.概率论基本事件等概念与集合论中元素等的对应关系表： 概率论 集合论 记号 样本点 元素 ei (?i) 基本事件 单元素集 {ei} 样本空间 全集 S, (Ω) 随机事件 子集 A 不可能事件 空集 Φ 例 ：写出E1到E6的样本空间： S1 ：{H, T} S2 ：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT} S3 ：{0, 1, 2, 3} S4 ：{1, 2, 3, 4, 5, 6} S5 ：{0, 1, 2, 3, ……} S6 ：{t|t≥0} 1.1.2　事件间的关系和运算 1. 事件间的关系及运算 1.定义 定义1.若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A， 记为B?A或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义2. “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件，记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B} * 推广：事件的和可推行至有任意有限和可列个事件的和的情况