概率论与数理统计_第六章_参数估计.ppt

故置信度为 的置信区间是 三、方差的置信区间 例6.5.6 某厂生产的零件重量服从正态分布 现从该厂生产的零件中抽取9个,测得其质量为(单位:g) 45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差的0.95置信区间. 解: 设零件重量记为X, 过程 在样本容量充分大时,可以用渐近分布来构造置信区间. 我们用举例的形式来介绍构造置信区间. 6.5.4 大样本的置信区间 它的判别式为 故此一元二次函数是开口向上并与x轴有两个交点的曲线, 记此两个交点 近似为 例6.5.7 对某事件 A作120次观察,A发生36次.试求事件A 发生的概率p的0.95的区间估计. 解: 由题意知, 故所求的区间为[0.218,0.382]. 例6.5.8 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p, 为使得p的 解: 这是关于二点分布比例的区间估计问题. 的区间估计 由第五章的结论知 6.5.5 两个正态总体下的区间估计 一、 两个总体均值差 故置信度为 的置信区间是 的置信区间是 故置信度为 记号同前, 这样就构造了枢轴量. 4. 当m和n都很大时的近似置信区间 我们可以证明: 5. 一般情况下的近似置信区间 度为l的t 分布很接近,其中t由公式 决定,l一般不为整数,可以取与l最接近的整数代替之.于是, 近似地有T ~t (l),从而可得 例6.5.9 为比较两个小麦品种的产量,选择18块条件相似 的试验田,采用相同的耕作方法做试验,结果播种甲品种的8 块试验田的单位产量和播种乙品种的10块试验田的单位面 积产量(单位:kg)分别为: 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定每个品种的单位面积产量均服从正态分布,试求这两 个品种的平均单位面积产量差的0.95置信区间. 解:甲、乙品种单位面积产量分别记为X和Y,则 过程 定理6.2.2 设 例6.2.3 续例6.1.6 由大数定律及定理6.2.2知上述三个都是 的相合估计. 定义1 否则称为有偏估计.其偏度记为 如果 6.2.2 无偏性 例1 证明在6.1节中我们得到的均匀分布的参数 的矩估 计是无偏的,而极大似然估计是有偏. 证明: 因为 的矩估计为 所以 即 的无偏估计. 因为 的极大似然估计为 因此, 的密度函数为 所以 即 不是 的无偏估计. 例6.2.5 设总体 证明: 由定理5.3.1知: 其密度为 从而 由此,我们有 估计量的无偏性有两个含义,第一个含义是没有系统性 偏差,不论你用什么样的估计量去估计 , 总是时而（对某 些样本）偏低,时而（对另一些样本）偏高.无偏性表示, 把这些正负偏差在概率上平均起来,其均值为0.比如用一把 秤去秤东西,误差来源有二:一是秤本身结构制作上的问题, 使它在秤东西时,倾向于给出偏高或偏低之值,这属于系统 误差.另一种是操作上和其它随机性原因,使秤出的结果有 误差,这属于随机误差.在此,无偏估计的要求相应于秤没有 系统误差,但随机误差总是存在的.因此无偏估计不等于在 任何时候都给出正确无误的估计. 另一个含义是无偏性体现了一种频率思想,只有在大量重复下才有意义. 无偏性的缺点： （1）没有不变性. （2）有时根本不存在无偏估计，或因满足无偏性要求而 得到很不合理的估计. 例2 解： 即 上式是不可能成立的,也就是说， 的无偏估计不存 而且这是一个较好的估计. 求估计量不仅具有无偏性要求,而且具有最小方差. 定义2 设 6.2.3 有效性 的任一无偏估计的方差是否能无限小呢？我们可以 证明,在一定条件下有Cramer-Rao不等式 上式右边就是方差的下界,并简记为 例3 设 是从均匀分布总体 取出的子样,由例1知, 因此, 例4 设 是来自总体的一个样本,比较总体期望 的下列两个无偏估计的有效性. 解: 显然 即当 时 有效. 例5 设 是来自正态总体 的一个样本, 试证明 的无偏估计量 的有效估计. 证明 即 也就是说, 达到了方差的下界.所以 的有效估计. 无偏性是估计的一个良好性质,对无偏估计我们可以通 过其方差进行有效性比较.然而不能由此认为:有偏估计一定 是不好的估计. 有时,有偏估计比无偏估计更优,这就涉及如何对