3.2状态转移矩阵的性质与计算.pptVIP

Ch.3 线性系统的时域分析 状态转移矩阵的性质与计算(1/1) 3.2 状态转移矩阵的性质与计算 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵, 主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的定义(1/4) 3.2.1 状态转移矩阵的定义 定义 对于线性定常连续系统x’ ? Ax, 当初始时刻t0 ? 0时, 满足如下矩阵微分方程和初始条件: ?’(t) ? A?(t), ?(t)|t ? 0 ? I的解?(t)为线性定常连续系统x’ ? Ax的状态转移矩阵 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的 引入上述状态转移矩阵新定义, 主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统和离散系统等 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述, 更好地刻划系统状态运动变化的规律 状态转移矩阵的定义(2/4) 当系统矩阵A为n?n维方阵时, 状态转移矩阵Φ(t)亦为n?n维方阵, 且其元素为时间 t 的函数 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵 当A为如下对角线矩阵: A ? diag{?1 ?2 … ?n} 则状态转移矩阵为 式中, diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵 状态转移矩阵的定义(3/4) (2) 块对角矩阵 当A为如下块对角矩阵: A ? block-diag{A1 A2 … Al},其中Ai为mi?mi维的分块矩阵, 则状态转移矩阵为式中, block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵 状态转移矩阵的定义(4/4) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/4) 3.2.2 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义, 可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵Φ(t)具有如下性质 1) Φ(0) ? eA0 ? I 2) eA(t+s) ? eAteAs, Φ(t+s) ? Φ(t)Φ(s), 式中t和s为两个独立的标量自变量 证明: 由指数矩阵函数的展开式, 有 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/4) 3) [Φ(t2?t1)]?1 ? Φ(t1?t2) 4) 对于n?n阶的方阵A和B,下式仅当AB ? BA时才成立 e(A+B)t ? eAteBt 5) 6) [Φ(t)]n ? Φ(nt) 7) Φ(t2?t1)Φ(t1?t0) ? Φ(t2?t0) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(3/4) 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0) 而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/4) 例3-3 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵 解： 对于该系统,在例3-1已求得状态转移矩阵为 由于Φ?1(t)=Φ(?t), 所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为 状态转移矩阵计算(1/1) 3.3.3 状态转移矩阵计算 在状态方程求解中, 关键是状态转移矩阵?(t)的计算 对于线性定常连续系统, 该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法, 下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他两种常用方法 级数求和法 约旦规范形法 级数求和法(1/3) 1. 级数求和法 由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知: 级数求和法(2/3) 显然, 用此方法计算eAt一般不能写成封闭的和简洁的解析形式, 只能得到数值计算的近似计算结果 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少 如果级数收敛较慢, 则需计算的级数项数多, 人工计算是非常麻烦的, 一般只适用于计算机计算 因此, 该方法的缺点: 计算量大 精度低 非解析方法, 难以得到计算结果的简洁的解析表达式 级数求和法(3/3) 例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 约旦规范形法 (1/8) 2. 约旦规范形法 上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵,因此 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵指数函数 下面讨论之 约旦规范形法 (