2.2直线上的开集、闭集及完全集的构造.pdf

§2.2 直线上的开集、闭集及 完备集的构造 引例 是直线上的开集， 引例 G =-1,2  1,3  3,5 是直线上的开集， ( ) ( ) ( ) 它可以表为互不相交的开区间的并：G =-1,3  3,5 . 它可以表为互不相交的开区间的并： ( ) ( ) 在引例中 的第一种表法中,只有一个构成区间，而 在引例中 G 的第一种表法中,只有一个构成区间，而 在第二种表法中，两个区间都是构成区间。 在第二种表法中，两个区间都是构成区间。 一 直线上的开集构造 • 定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成 有限个或可数个互不相交的开区间的并。 ( ) ( )( ) ( ) ( 注： n(n1)维欧氏空间中的开集一般不能表示成至多可数个 互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交 的半开半闭区间之并. 二 直线上的闭集构造 • 定理：直线上的闭集或是全直线，或是从直线上 挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集. 注： 直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开 区间的公共端点； 但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。 ( ) ( )( ) ( ) ( 推论： 直线上完备集就是没有相邻接的余区间的闭集. Cantor集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集 Cantor集    1.Cantor集 G I  i ⑴定义：令 ( ) n n i , 称P=[0,1]- G=[0,1] ∩Gc 为Cantor集 第n次 去掉的开区间 留下的闭区间 1 i (1) I i 1 I i i 1,2 (1) i (2) 2 2 I i 1,2 I i i 1,2, 2  (2)    i n1 ( )n