计算方法概论.pdf

科学与工程计算 主讲：廖福成 科学与工程计算 主要参考书： 1.张晓丹等，《应用计算方法教程》，机械 工业出版社，2008。 2.杨大地，王开荣，《数值分析》，科学出 版社，2006。 3.关治，陆金甫，《数值分析基础》，高等 教育出版社，1998。 4.关治，陆金甫，《数值方法》，清华大学 出版社，2006。 5.吴勃英，《数值分析》，高等教育出版社， 2007。 6.李庆扬，王能超，易大义，《数值分析》， 华中科技大学出版社，2006，第四版。 科学与工程计算 第一章 计算方法概论 计算方法又称数值分析，是计算数学的一个重要组成部 分，它主要研究来自科学和工程中的数学问题的算法设计与 相关理论． 本章首先介绍计算方法的意义、任务，其次介绍计算数 学的一些基本概念，包括算法与效率、计算机中数的浮点运 算，误差、问题的性态以及算法的数值稳定性等．上述概念 将贯穿到本教程的全部内容中． 科学与工程计算 1.1 引言 1.1.1 计算方法的意义 计算机的发展极大地扩展了数学的应用范围与能力，使得科 学计算平行于理论分析和科学实验成为人类探索未知领域，研究 现代科学技术的第三种手段．对于理论或实验方法难于完成的研 究，计算机模拟可以大大增强对所研究问题的认识． 科学计算的成败不仅与计算工具的先进性有关，而且与所用 计算方法的效能密切相关，计算方法对于计算速度的提高与增强 计算结果的准确性来说，与计算机硬件同等重要．这就导致了计 算方法研究领域的空前活跃，并形成了一门以原来分散在数学各 分支的计算方法为基础的新的数学分支—计算数学．一系列与计算 数学相关的边缘学科，如计算力学、计算物理、计算电磁学、计 算化学、计算生物、计算地质与计算经济学等，也都相继出现了． 科学与工程计算 1.1.2 数值计算方法研究的对象与特点 数值计算方法：研究适合计算机进行科学计算的方法。 使用计算机、离散。 用计算机解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题建立数学模型 算法设计 程序设计 上机计算 求得结果 其中算法设计是本课程的主要内容，同时也要兼顾程序 设计。 科学与工程计算 1.2 算法与效率 1.2.1 算法 解决某类数学问题的数值方法称为数值算法，它是 求解数学问题的过程的完整准确的描述。为了使算法能 够在计算机上实现，必须将一个数学问题分解成为有限 次的四则运算。 科学与工程计算 看一个例子。若矩阵A 非奇异，方程组 Ax b 有惟一解，可 用克莱姆（Cramer ）法则求解 D k xk ，（k 1, 2, , n ） D 其中D det A ，D 是用向量b 代替 A 的第k 列后所得矩阵的行 k 列式。 用克莱姆法则解线性方程组的计算量（乘法次数） ( 1) ! ( 1) ( 1)! ( 1) S n + ×n × n− n + × n − n 例如n 20 ，乘法次数为1021 。计算量很大！ 如果用一个每秒 10 亿次 （ 9 10 ）乘法的计算机来算，所需计 算的时间为 1021 / ( 365 ×24 ×3600 ×109 ) ≈3.2 ×104 （年），即需要 32000 年才能完成。 选择适当的算法是计算成败的关键！ 科学与工程计算 算法常具有的基本特征： 1、